文本比较算法Ⅰ——LD算法

  在日常应用中,文本比较是一个比较常见的问题。文本比较算法也是一个老生常谈的话题。

  文本比较的核心就是比较两个给定的文本(可以是字节流等)之间的差异。目前,主流的比较文本之间的差异主要有两大类。一类是基于编辑距离(Edit Distance)的,例如LD算法。一类是基于最长公共子串的(Longest Common Subsequence),例如Needleman/Wunsch算法等。

  LD算法(Levenshtein Distance)又成为编辑距离算法(Edit Distance)。他是以字符串A通过插入字符、删除字符、替换字符变成另一个字符串B,那么操作的过程的次数表示两个字符串的差异。

  例如:字符串A:kitten如何变成字符串B:sitting。

    第一步:kitten——》sitten。k替换成s

    第二步:sitten——》sittin。e替换成i

    第三步:sittin——》sitting。在末尾插入g

  故kitten和sitting的编辑距离为3

 

  定义说明:

  LD(A,B)表示字符串A和字符串B的编辑距离。很显然,若LD(A,B)=0表示字符串A和字符串B完全相同

  Rev(A)表示反转字符串A

  Len(A)表示字符串A的长度

  A+B表示连接字符串A和字符串B

  

  有下面几个性质:

  LD(A,A)=0

  LD(A,””)=Len(A)

  LD(A,B)=LD(B,A)

  0≤LD(A,B)≤Max(Len(A),Len(B))

  LD(A,B)=LD(Rev(A),Rev(B))

  LD(A+C,B+C)=LD(A,B)

  LD(A+B,A+C)=LD(B,C)

  LD(A,B)≤LD(A,C)+LD(B,C)(注:像不像“三角形,两边之和大于第三边”)

  LD(A+C,B)≤LD(A,B)+LD(B,C)

 

  为了讲解计算LD(A,B),特给予以下几个定义

  A=a1a2……aN,表示A是由a1a2……aN这N个字符组成,Len(A)=N

  B=b1b2……bM,表示B是由b1b2……bM这M个字符组成,Len(B)=M

  定义LD(i,j)=LD(a1a2……ai,b1b2……bj),其中0≤i≤N,0≤j≤M

  故:  LD(N,M)=LD(A,B)

      LD(0,0)=0

      LD(0,j)=j

      LD(i,0)=i

 

  对于1≤i≤N,1≤j≤M,有公式一

  若ai=bj,则LD(i,j)=LD(i-1,j-1)

  若ai≠bj,则LD(i,j)=Min(LD(i-1,j-1),LD(i-1,j),LD(i,j-1))+1

 

  举例说明:A=GGATCGA,B=GAATTCAGTTA,计算LD(A,B)

  第一步:初始化LD矩阵  

 

LD算法矩阵

  GAATTCAGTTA
 01234567891011
G1           
G2           
A3           
T4           
C5           
G6           
A7           

 

  第二步:利用上述的公式一,计算第一行

 

LD算法矩阵

  GAATTCAGTTA
 01234567891011
G1012345678910
G2           
A3           
T4           
C5           
G6           
A7           

 

  第三步,利用上述的公示一,计算其余各行 

LD算法矩阵

  GAATTCAGTTA
 01234567891011
G1012345678910
G211234566789
A321123456788
T432212345678
C543322234567
G654433333456
A765444434455

 

  则LD(A,B)=LD(7,11)=5

 

  下面是LD算法的代码,用的是VB2005。代码格式修正于2012年1月6日。

Public
Class clsLD

  
Private
Shared mA()
As
Char

  
Private
Shared mB()
As
Char

  
Public
Shared
Function LD(
ByVal A
As
String,
ByVal B
As
String)
As
Integer

    mA = A.ToCharArray

    mB = B.ToCharArray

    
Dim L(A.Length, B.Length)
As
Integer

    
Dim i
As
Integer, j
As
Integer

    
For i = 1
To A.Length

      L(i, 0) = i

    
Next

    
For j = 1
To B.Length

      L(0, j) = j

    
Next

    
For i = 1
To A.Length

      
For j = 1
To B.Length

        
If mA(i – 1) = mB(j – 1)
Then

          L(i, j) = L(i – 1, j – 1)

        
Else

          L(i, j) = Min(L(i – 1, j – 1), L(i – 1, j), L(i, j – 1)) + 1

        
End
If

      
Next

    
Next

    
Return L(A.Length, B.Length)

  
End
Function

  
Public
Shared
Function Min(
ByVal A
As
Integer,
ByVal B
As
Integer,
ByVal C
As
Integer)
As
Integer

    
Dim I
As
Integer = A

    
If I > B
Then I = B

    
If I > C
Then I = C

    
Return I

  
End
Function

End
Class

 

  这个LD算法时间复杂度为O(MN),空间复杂度为O(MN),如果进行优化的话,空间复杂度可以为O(M),优化的代码这里不再详述了。参看“计算字符串的相似度(VB2005)

  我们往往不仅仅是计算出字符串A和字符串B的编辑距离,还要能得出他们的匹配结果。

  以上面为例A=GGATCGA,B=GAATTCAGTTA,LD(A,B)=5

  他们的匹配为:

    A:GGA_TC_G__A

    B:GAATTCAGTTA

  如上面所示,蓝色表示完全匹配,黑色表示编辑操作,_表示插入字符或者是删除字符操作。如上面所示,黑色字符有5个,表示编辑距离为5。

  利用上面的LD矩阵,通过回溯,能找到匹配字串

  第一步:定位在矩阵的右下角  

LD算法矩阵

  GAATTCAGTTA
 01234567891011
G1012345678910
G211234566789
A321123456788
T432212345678
C543322234567
G654433333456
A765444434455

 

  第二步:回溯单元格,至矩阵的左上角

    若ai=bj,则回溯到左上角单元格

LD算法矩阵

  GAATTCAGTTA
 01234567891011
G1012345678910
G211234566789
A321123456788
T432212345678
C543322234567
G654433333456
A765444434455

    若ai≠bj,回溯到左上角、上边、左边中值最小的单元格,若有相同最小值的单元格,优先级按照左上角、上边、左边的顺序

LD算法矩阵

  GAATTCAGTTA
 01234567891011
G1012345678910
G211234566789
A321123456788
T432212345678
C543322234567
G654433333456
A765444434455

    若当前单元格是在矩阵的第一行,则回溯至左边的单元格

    若当前单元格是在矩阵的第一列,则回溯至上边的单元格

LD算法矩阵

  GAATTCAGTTA
 01234567891011
G1012345678910
G211234566789
A321123456788
T432212345678
C543322234567
G654433333456
A765444434455

    依照上面的回溯法则,回溯到矩阵的左上角

  第三步:根据回溯路径,写出匹配字串

    若回溯到左上角单元格,将ai添加到匹配字串A,将bj添加到匹配字串B

    若回溯到上边单元格,将ai添加到匹配字串A,将_添加到匹配字串B

    若回溯到左边单元格,将_添加到匹配字串A,将bj添加到匹配字串B

    搜索晚整个匹配路径,匹配字串也就完成了

 

  从上面可以看出,LD算法在不需要计算出匹配字串的话,时间复杂度为O(MN),空间复杂度经优化后为O(M)

  不过,如果要计算匹配字符串的话,时间复杂度为O(MN),空间复杂度由于需要利用LD矩阵计算匹配路径,故空间复杂度仍然为O(MN)。这个在两个字符串都比较短小的情况下,能获得不错的性能。不过,如果字符串比较长的情况下,就需要极大的空间存放矩阵。例如:两个字符串都是20000字符,则LD矩阵的大小为20000*20000*2=800000000Byte=800MB。呵呵,这是什么概念?故,在比较长字符串的时候,还有其他性能更好的算法。留待后文详述。

    原文作者:万仓一黍
    原文地址: https://www.cnblogs.com/grenet/archive/2010/06/01/1748448.html
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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