B树

1.B树的定义

• B树（B-tree）是对2-3树数据结构的扩展，又称为多路平衡查找树，它的一个节点可以拥有多于2个子节点的二叉查找树。与自平衡二叉查找树不同，

• B树是一种自平衡树数据结构，可以保持数据排序，它能够存储数据、对其进行排序并允许以O(log n)的时间复杂度运行进行查找、顺序读取、插入和删除的数据结构

• B树针对读写大数据块的系统进行了优化。B树的算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。普遍运用在数据库和文件系统。

注：有人说B-树，其实就是B树，因为B树的原英文名称为B-tree

2.B树的性质

一棵m阶的B 树 (m叉树)的性质

• 树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；

• 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子

• 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子

• 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息

• 每个非终端结点中包含有n个关键字信息，并且以升序排列

B树实示例图

注：小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针

3.B树的插入与删除

（1）插入的步骤

• 插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素

• 如果叶子结点空间足够，这里需要向右移动该叶子结点中大于新插入关键字的元素，如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素，则将该结点进行“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中（当然，如果父结点空间满了，也同样需要“分裂”操作），

• 当结点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移。如果在根结点插入新元素，空间满了，则进行分裂操作，这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中，因此导致树的高度增加一层

实例：构造一个包含C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S元素的5阶B树
（关键字小于2个就合并，超过4个就分裂）

1>结点空间足够，4个字母插入相同的结点中

2>插入H时，结点发现空间不够，以致将其分裂成2个结点，移动中间元素G上移到新的根结点中，把A和C留在当前结点中，而H和N放置新的其右邻居结点中

3>插入E,K,Q时，不需要任何分裂操作

4>插入M需要一次分裂，因为M恰好是中间关键字元素，所以向上移到父节点中

5>插入F,W,L,T不需要任何分裂操作

6>插入Z时，最右的叶子结点空间满了，需要进行分裂操作，中间元素T上移到父节点中，注意通过上移中间元素，树最终还是保持平衡，分裂结果的结点存在2个关键字元素。

7>插入D时，导致最左边的叶子结点被分裂，D恰好也是中间元素，上移到父节点中，然后字母P,R,X,Y陆续插入不需要任何分裂操作

8>最后，当插入S时，含有N,P,Q,R的结点需要分裂，把中间元素Q上移到父节点中，但是情况来了，父节点中空间已经满了，所以也要进行分裂，将父节点中的中间元素M上移到新形成的根结点中

（2）删除的步骤

• 首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在，则将该元素在其结点中进行删除，

• 删除该元素后，首先判断该元素是否有左右孩子结点，如果有，则上移孩子结点中的某相近元素(“左孩子最右边的节点”或“右孩子最左边的节点”)到父节点中，然后是移动之后的情况；如果没有，直接删除后，移动之后的情况。

• 删除元素，移动相应元素之后，如果某结点中元素数目（即关键字数）小于ceil(m/2)-1，则需要看其某相邻兄弟结点是否丰满（结点中元素个数大于ceil(m/2)-1）

• 如果丰满，则向父节点借一个元素来满足条件；如果其相邻兄弟都刚脱贫，即借了之后其结点数目小于ceil(m/2)-1，则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行“合并”成一个结点，以此来满足条件。

实例：删除B树中的h、r、p、d元素

B+树

1.B+树的定义

B+-tree是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。

2.B+树与B树区别

• B+树中有n棵子树的结点中含有n个关键字，而B 树是n棵子树有n-1个关键字

• B+树所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，所有的叶子结点和相连的节点使用链表按从小到大的顺序相连，便于区间查找和遍历。而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息。

• B+树所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

• B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。

• B+树在内部节点上不包含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子几点上关联的数据也具有更好的缓存命中率。B树的优点：由于B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。

B+树示例图

B*树

1.B*树的定义

B*-tree是B+-tree的变体，在B+ 树非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针

2.B*树的性质

• B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）

• B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

• B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。

• B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

B*树示例图

B树和B+树的应用场景

1.文件存储系统

在B+树中，内节点只存储导航用到的key，并不存储具体值，这样内节点个数较少，能够全部读取到主存中，外接点存储key及值，并且顺序排列，具有良好的空间局部性。所以B及B+树比较适合与文件系统的数据结构。

2.数据库系统

Mysql的MyISAM和InnoDB两个存储引擎的索引实现方式：

• MyISAM

  • MyISAM引擎使用B+ Tree作为索引结构，叶节点存放的是数据记录的地址。
  • MyISAM引擎的辅助索引（二级索引）和主索引在结构上没有区别，只是辅助索引的key可以重复，叶节点上存放的也是数据记录的地址。
  • MyISAM索引文件和数据文件是分离的，索引文件仅保存数据记录的地址。

• InnoDB

  • InnoDB中表数据本身就是按B+ Tree组织的一个索引结构，叶节点存放的就不是数据记录的地址，而是完整的数据记录。所以InnoDB这种存储方式，又称为聚集索引，使得按主键的搜索十分高效，但二级索引搜索需要检索两遍索引：首先二级索引获得主键，然后用主键到主索引中检索到数据记录。
  • 因为主键是InnoDB表记录的”逻辑地址“，所以InnoDB要求表必须有主键，MyISAM可以没有。

本人才疏学浅，若有错，请指出
谢谢！

参考资料：

1.B树详解
2.平衡查找树之B树
3.B树详解——维基百科
4.简单清晰的B树、Trie树详解
5.MySQL索引背后的数据结构及算法