平衡二叉搜索树之AVL树

1 什么是二叉搜索树?

二叉查找树(Binary Search Tree),(又:
二叉搜索树
,二叉排序树)它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的
二叉树
: 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为
二叉排序树



二叉搜索树规则是:
(1) 在查找和插入上很有效率,时间复杂度不超过O(logN);
(2)任何节点的键值一定大于其左子树中的每一个节点的键值,一定小于其右子树节点的键值。

2 平衡二叉搜索树的优点是什么?

它除了具备二叉查找树的基本特征之外,还具有一个非常重要的特点: 
的左子树和右子树都是平衡二叉树,且左子树和右子树的高度相差最多为1平衡因子 ) 


而不同的平衡条件会造成不同的效率;
平衡二叉树的性能优势:

      很显然,平衡二叉树的优势在于不会出现普通二叉查找树的最差情况。其查找的时间复杂度为O(logN)。二叉查找树会因某些插入和删除操作使得二叉树不平衡,从而导致元素访问的效率低下,因此,平衡二叉搜索树的元素搜索(访问)时间平均而言也就比较小,一般而言其搜寻时间可节省25%左右,因为平衡二叉搜索树没有极度不平衡的情况发生。


平衡二叉树的缺陷:

      (1) 平衡二叉搜索树实现比二叉搜索树复杂(要维持平衡),因此,插入节点及删除节点的平均时间要长

      (2) 所有二叉查找树结构的查找代价都与树高是紧密相关的,能否通过减少树高来进一步降低查找代价呢。我们可以通过多路查找树的结构来做到这一点。

      (3) 在大数据量查找环境下(比如说系统磁盘里的文件目录,数据库中的记录查询 等),所有的二叉查找树结构(BST、AVL、RBT)都不合适。如此大规模的数据量(几G数据),全部组织成平衡二叉树放在内存中是不可能做到的。那么把这棵树放在磁盘中吧。问题就来了:假如构造的平衡二叉树深度有1W层。那么从根节点出发到叶子节点很可能就需要1W次的硬盘IO读写。大家都知道,硬盘的机械部件读写数据的速度远远赶不上纯电子媒体的内存。 查找效率在IO读写过程中将会付出巨大的代价。在大规模数据查询这样一个实际应用背景下,平衡二叉树的效率就很成问题了。

3 平衡二叉搜索树之AVL树

AVL-tree是加了平衡条件的二叉搜索树,其平衡条件的建立是为了确保整棵树的深度为O(logN);平衡条件是:要求任何节点的左右子树的高度相差最多1。

前面说了
由于二叉搜索树的插入或删除操作会破坏二叉搜索树的平衡性
,当破坏程度较大时,元素的访问效率会受到影响,那么如何维持二叉搜索树的平衡呢?下面以元素的插入操作为例进行分析。
《平衡二叉搜索树之AVL树》

《平衡二叉搜索树之AVL树》

3.1 单旋转

以左左外侧插入为例,右右外侧插入类似,请看下图:

《平衡二叉搜索树之AVL树》

3.2 双旋转

以左右内侧插入为例,右左内侧插入类似,请看下图:
《平衡二叉搜索树之AVL树》

使用双旋转操作对上述不平衡进行修正,请看下图:
《平衡二叉搜索树之AVL树》

RB-tree是另一个被广泛使用的平衡二叉搜索树,也是SGI STL唯一实现的一种搜索树,作为关联式容器的底层实现机制。RB-tree的平衡条件虽然和AVL-tree不同,但同样使用了单旋转和双旋转修正操作。

此外,平衡二叉搜索树的实现还有AA-tree。

    原文作者:平衡二叉树
    原文地址: https://blog.csdn.net/iFuMI/article/details/76081267
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