这个恐怕是整个《数据结构》教科书里面最难的和最“没用”的数据结构了（现在的教科书还有部分算法内容）。说它没用，恰恰是因为它太有用——有着和普通的二叉搜索树完全一样的接口界面，绝大多数情况下比普通的二叉搜索树效率高（很多）。因此，通常情况下，人们都是一劳永逸的——写完后就重用，而不会再写了。所以说，你虽然学完了平衡二叉树，但很可能你永远也不会亲自写一个。你现在随便在身边拉个人，让他来写一个，能顺利的写出来的恐怕不多，玩笑之词，且勿当真。
在开始写之前，我很担心，能不能把这部分写清楚，毕竟书上满天的switch…case，并且还只是一半——有左旋没有右旋，有插入没有删除。后来，我变得有信心了——因为书上都没有说清楚，都在那里说梦话。我没有找到AVL树的发明者的原著（G. M. Adelson-Velskii and Y. M. Landis. An algorithm for the organization of information. Soviet Math. Dokl., 3:1259–1262, 1962.）也不知道我下面所写的是不是体现了发明者的本意，但至少，我认为现在的教科书歪曲了发明者的本意。
基本概念
? 平衡
下面的引文出自Algorithms and Data Structures （Niklaus Wirth, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986 ISBN: 0-13-022005-1 pp. 215 – 226）
One such definition of balance has been postulated by Adelson-Velskii and Landis [4-1]. The balance criterion is the following:
A tree is balanced if and only if for every node the heights of its two subtrees differ by at most 1.
Trees satisfying this condition are often called AVL-trees (after their inventors). We shall simply call them balanced trees because this balance criterion appears a most suitable one. (Note that all perfectly balanced trees are also AVL-balanced.)
The definition is not only simple, but it also leads to a manageable rebalancing procedure and an average search path length practically identical to that of tbe perfectly balanced tree.
科技文都比较好懂，本人翻译水平比较差，就不献丑了，我只想让大家注意最后一段的画线部分，平衡化应该是易于操作的，而绝不是现在你在书上看到的铺天盖地的switch…case。
? 旋转
平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点（其中一个可能是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。
p |
|
|
| p |
p |
| 左旋 |
| t |
| t |
| (p) |
|
（NULL） |
|
|
| （NULL） |
可以看到，左旋确实是在向“左”旋转，还是很形象的。右旋是左旋的镜像，就不再另行说明了。下表是左旋和右旋各个节点的指针变换情况。（括号表示NULL的情况不执行）
左旋 | 右旋 | ||
t->parent = p->parent | p->parent = t | t->parent = p->parent | p->parent = t |
(t->left->parent = p) | p->right = t->left | (t->right->parent = p) | p->left = t->right |
t->left = p | p = t | t->right = p | p = t |
? 平衡因子（bf——balance factor）
AVL树的平衡化靠旋转，而是否需要平衡化，取决于树中是否出现了不平衡。为了避免每次判断平衡时，都求一下左右子树的高度，引入了平衡因子。很可能是1962年的时候AV&L没有亲自给出定义，时下里平衡因子的定义乱七八糟——我看了4本书，两本是bf ＝ 左高－右高，两本是bf ＝ 右高－左高。最有意思的是两本中国人（严蔚敏和殷人昆）写的一本左减右，一本右减左；两本外国人写的也是这样。虽然没什么原则上的差别，可苦了中国的莘莘学子们——考试的时候可不管你是哪个门派的。我照顾自己的习惯，下面的bf = 左高－右高，习惯不同的请自己注意。
这样一来，是否需要平衡化的条件就很明了了——| bf | > 1。如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。
插入和删除
在AVL树插入和删除，实际上就是先按照普通二叉搜索树插入和删除，然后再平衡化。可以肯定的说，插入和删除需要的最多平衡化次数不同（下面会给出根本原因），但这不表明插入和删除时的平衡化的思路有很大差别。现有的教科书，仅仅从表面上看到了到了平衡化操作次数不同的假象，而没有从根本上认识到插入和删除对称的本质，搞得乱七八糟不说（铺天盖地的switch…case），还严重的误导了读者——以为删除操作复杂的不可捉摸。
AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：
1． while (current != NULL)修改current的平衡因子。
? 插入节点时current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
? 删除节点时current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;
? current指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。*p初始值是插入节点或者实际删除节点的data。因为删除操作可能实际删除的不是data。
2． 判断是否需要平衡化
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
3． 是否要继续向上修改父节点的平衡因子
? 插入节点时if (!current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和插入前的高度相同。
? 删除节点时if (current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和删除前的高度相同
? 之所以删除操作需要的平衡化次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。
4． 当前节点移动到父节点，转1
p = &(current->data); current = current->parent;
完整的插入删除函数如下：
bool insert(const T &data)
{
if (!BSTree<T>::insert(data)) return false; const T* p = &data;
while (current)
{
current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
if (!current->bf) break;
p = &(current->data); current = current->parent;
}
return true;
}
bool remove(const T &data)
{
if (!BSTree<T>::remove(data)) return false; const T* p = &r_r_data;
//在class BSTree里添加proteceted: T r_r_data，在BSTree<T>::remove(const T &data)里修改为实际删除的节点的data
while (current)
{
current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
if (current->bf) break;
p = &(current->data); current = current->parent;
}
return true;
}
