基本概念
首先二叉查找树是二叉树，回顾一下二叉树的概念，二叉树的每个节点都不能有多于两个的儿子，一般二叉树如下
二叉树的性质
二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)
性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)。
性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)。
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)
证明：下面用”数学归纳法”进行证明。
(01) 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
(02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出”第(i+1)层的节点数目为2{i}”即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故”第(i+1)层上的结点数目” 最多是 “第i层的结点数目的2倍”。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
故假设成立，原命题得证！
性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)
证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用”性质1”可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k-1
故原命题得证！
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)
证明：根据”性质2”可知，高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)=”0度结点数(n0)” + “1度结点数(n1)” + “2度结点数(n2)”。由此，得到等式一。
(等式一) n=n0+n1+n2
另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
(等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！
满二叉树，完全二叉树和二叉查找树
满二叉树
定义：高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。
完全二叉树
定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
二叉查找树
定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
在二叉查找树中：
(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
在实际应用中，二叉查找树的使用比较多。下面，用C语言实现二叉查找树。
首先定义头文件
#ifndef BSTREE_H_INCLUDED
#define BSTREE_H_INCLUDED
typedef int elementType;//定义结点值类型
//定义结点
typedef struct node
{
elementType key;
int height;//当前结点高度
struct node *left;
struct node *right;
struct node *parent;
} bsNode, *bsTree;
bsNode* create_node(elementType key,bsNode *left,bsNode *right,bsNode *parent);//创建结点
bsTree bstree_insert(bsTree tree,elementType key);
bsNode* insert_node(bsTree tree ,bsNode *node);//向树中插入结点
bsNode* dele_node(bsTree tree ,bsNode *node);//删除结点
void pre_order_tree(bsTree tree);
void in_order_tree(bsTree tree);
void post_order_tree(bsTree tree);
bsNode *maximum_node(bsTree tree);//寻找树中最大结点
bsNode *minimun_node(bsTree tree);//寻找树中最小结点
int get_tree_height(bsTree tree);
#endif // BSTREE_H_INCLUDED
在bstree.c中定义头文件中申明的函数
一棵二叉树是有由一个个结点组成的，我们先定义一个创建结点的函数
bsNode* create_node(elementType key,bsNode *left,bsNode *right,bsNode *parent)
{
bsNode *node;
node=(bsNode *)malloc(sizeof(bsNode));
if(node==NULL)
{
printf("结点创建失败");
}
node->key=key;
node->left=left;
node->right=right;
node->parent=parent;
return node;
}插入操作
有了结点后我们需要将一个个结点插入二叉树才行吧，其中插入操作用temp指针指向当前结点位置，因为二叉查找树是有序树，所以我们要先找到要插入结点该插入的位置，当temp从while中跳出来时候，说明已经找到要插入的位置了，pre指针指向temp前一个位置，也就是说while结束时pre是要插入结点node的父节点
bsNode* insert_node(bsTree tree ,bsNode *node)
{
if(node==NULL)
{
return NULL;
}
bsNode *temp,*pre;
pre=NULL;
temp=tree;
while(temp)
{
pre=temp;
if(temp->key<node->key)
{
temp=temp->right;
}
else
{
temp=temp->left;
}
}
//while结束循环时pre指向node的父节点
if(tree==NULL)
{
tree=node;
}
else
{
node->parent=pre;
if(pre->key<node->key)
{
pre->right=node;
}
else
{
pre->left=node;
}
}
return tree;
}
bsTree bstree_insert(bsTree tree,elementType key)
{
bsNode *node=create_node(key,NULL,NULL,NULL);
return insert_node(tree,node);
}删除操作
删除操作需要根据要删除结点node的位置分情况讨论
A.node没有同时有左右孩子结点，也就是说node是叶子或者node有独子，那么可以通过将node的父结点指向node的孩子就行（没有孩子就指向kong）
B.node有左右孩子，那么一般的策略是将node右子树中最小结点的值赋值给node，这样就保证了二叉树的有序性，同时将右子树中最小结点删除。
/* 删除操作需要讨论要删除结点node的孩子情况 1.node没有两个孩子，也就是node有独子或者无子，那么直接将node父节点指向node的孩子（node无子也就指向null），然后free（node） 2.node有两个孩子，一般策略是将node右孩子子树中最小的结点赋值给node，然后删除最小孩子结点。（这么做会导致二叉树越来越失衡，后面AVL会讲到可以先比较node左右孩子结点的深度， 取深度大的一边赋值给node，然后删除相应的结点，其中node左子树那么就取最大的结点，右子树就取最小的） */
bsNode* dele_node(bsTree tree ,bsNode *node)
{
if(node==NULL||tree==NULL)
return tree;
if(tree->key>node->key)//要删除的结点在tree的左子树
{
tree->left= dele_node(tree->left,node);
}
else if(tree->key<node->key)//要删除的结点在右子树
{
tree->right= dele_node(tree->right,node);
}
else//找到要删除的结点了
{
//node结点有左右孩子
if(tree->left&&tree->right)
{
bsNode *min=minimun_node(tree->right);
tree->key=min->key;
tree->right=dele_node(tree->right,min);
}
else
{
/* if(tree->left==NULL) { return tree->right;//右孩子是不是NULL无所谓 } else { return tree->left; } */
return tree=tree->left?tree->left:tree->right;//node左子树不为空就返回，为空就返回右子树（不管右子树是不是null）
}
}
}删除操作中涉及一个求最小结点的函数
bsNode *minimun_node(bsTree tree)
{
if(tree->left)
{
tree=tree->left;
}
return tree;
}最后就是遍历二叉树
//前序遍历二叉树
void pre_order_tree(bsTree tree)
{
if(tree)
{
printf("%d ",tree->key);
pre_order_tree(tree->left);
pre_order_tree(tree->right);
}
}
void in_order_tree(bsTree tree)
{
if(tree)
{
in_order_tree(tree->left);
printf("%d ",tree->key);
in_order_tree(tree->right);
}
}
void post_order_tree(bsTree tree)
{
if(tree)
{
post_order_tree(tree->left);
post_order_tree(tree->right);
printf("%d ",tree->key);
}
}
测试代码
我们插入值为1,5,4,3,2,10,6,11,12的结点
bsTree tree=NULL;
int a[]= {1,5,4,3,2,10,6,11,12};
int size=LENGTH(a);
for(int i=0; i<size; i++)
{
tree=bstree_insert(tree,a[i]);
}
printf("前序遍历为：");
pre_order_tree(tree);
printf("\n");
printf("中序遍历为：");
in_order_tree(tree);
printf("\n");
printf("后序遍历为：");
post_order_tree(tree);
printf("\n");
printf("删除10\n");
bsNode *dele=create_node(10,NULL,NULL,NULL);
tree=dele_node(tree,dele);
printf("前序遍历为：");
pre_order_tree(tree);
printf("\n");
printf("中序遍历为：");
in_order_tree(tree);
printf("\n");
printf("后序遍历为：");
post_order_tree(tree);
printf("\n");结果截图
