一、查找问题的介绍
查找问题就是在给定的集合（或者是多重集，它允许多个元素具有相同的值）中找寻一个给定的值，我们称之为查找键。有许多查找算法可供选择，其中既包括直截了当的顺序搜索，也包括效率极高但应用受限的折半查找，还有那些将原集合用另一种形式表示以方便查找的算法。最后一类算法对于现实应用具有特别重要的价值，因为它们对于大型数据库的信息存取来说是不可或缺的。
对于查找来说，没有一种算法在任何情况下都是最优的。有些算法速度比其他算法快，但需要较多的存储空间；有些算法速度非常快，但仅适用于有序的数组，诸如此类。和排序算法不同，查找算法没有稳定性问题，但会发生其他问题。具体来说，如果应用里的数据相对于查找次数频繁变化，查找问题就必须结合另外两种操作一起考虑：在数据集合中添加和删除元素的操作。在这种情况下，必须自习选择数据结构和算法，以便在各种操作的需求之间达到一个平衡。而且，对于用于高效查找的特大型数据集合来说，如何组织其结构是一项不同寻常的挑战，而这对实际应用具有非常重要的意义。
针对查找问题采用了三种方法：线性表直接查找，二叉排序树查找，平衡二叉排序树查找三种方法。
1）其中线性表(Linear List,LL)直接查找，通过将数据集合存储在数组中，每次从数组首地址开始一直搜索到数组末尾，直到查找到待查元素和到达数组末尾为止。并针对该方法给出了一个优化的算法，对数组中的元素增加一个频度域，将查找频度最高的元素放在数组最前面，依次按频度对数组中元素进行排序。
2）二叉排序树（Binary Sort Tree,BST）查找，BST又称二叉搜索树，其定义为：二叉排序树或者是一颗空树，或者是具有如下性质的二叉树：①若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；②若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；③左、右子树也分别是二叉排序树；④没有键值相等的节点。从BST的定义中可知，在BST中查找一个元素的过程，即从根节点开始，每次根据待查元素与根节点的比较，决定查找成功或者依左或右子树查找，直到找到待查元素或者都到叶子节点为止。
3）平衡二叉查找树（Adelson-Velskii and Landis，AVL树），一棵AVL树是一棵二叉查找树，其中每个节点的平衡因子定义为该节点左子树和右子树的高度差，这个平衡因子要么是0，要么为+1或者-1（一棵空树的高度定义为-1）。因此AVL树是一种特殊的二叉查找树，其左右分支深度比较平衡，这样就缩短了树的高度，从而降低了查找的次数。在AVL树种查找元素的过程类似在二叉排序树中查找元素。
二、对查找问题的理论分析
设集合中的数据个数为n，则在采用线性表直接存储时，每次查找一个元素，在最好的情况下，时间复杂度是o(1)，最坏的情况下时间复杂度是o（n），因此平均查找长度是
在对线性表直接查找进行优化的算法中，增加了频度域，数组中数据按照数据查找的频度从高到低排列，在这种算法上，最好的情况下，时间复杂度是o(1)，最坏的情况下时间复杂度是o（n）。数据的平均查找长度依赖于所查找的序列。但可以确定的是，其查找长度低于优化前的查找长度
在分析二叉排序树的理论查找性能时，我们首先要清楚二叉排序树的形态，因为当二叉排序树的形态不同，其树的深度就会不同，因而查找的性能也会不同。在极端的情况，二叉排序树退化为一个单分支的树，则其查找性能跟线性表直接查找相同。在这里我们可以分析，对一棵随机生成的二叉排序树，其平均查找性能优于线性表直接查找。为了确定二叉排序树查找性能的上界和下界，我们首先分析一棵完全平衡的二叉排序树，即既是一棵平衡二叉树，又是一棵完全二叉树。假设每一个节点的查找频率相同，则完全平衡二叉查找树的平均查找长度为
因此随机生成的一棵二叉查找树的平均长度为
上述三种方法从时间复杂度上来说，查找一个数据的时间复杂度都是o（n）,空间复杂度均需要o（n）大小的辅助存储空间。
三、实验仿真结果
实验在VC6.0平台上，采用的C语言编写程序，将实验中测试的数据存储在record.txt文本中，再将文本数据导入到matlab中进行可视化比较。
图3.1和图3.2是测试不同查找算法的运行所耗费的时间的实时输出截图。其中图3.1是样本数量较少情况下的运行输出图，图3.2是样本数量较大时候的运行输出图。每一次输出会连续输出四组数据，每一组数据包含两个数值，第一个数值表示的是查找所耗费总的时间，第二个数值是查找中总的查找长度。
并将运行中的数据记录在文件中，图3.3和图3.4均是在测试样本数量不同时的各算法查找性能的评价值。每一行为一个样本的记录，包含九个数字，第一个数值是测试样本的数量，后面的八个数字，两个一组，共四组，第一个数字是查找所耗费的时间，第二个数字是查找总的长度，四组数字分别对应，直接连表查找，带频度的连表查找，二叉查找树和AVL树查找。在图3.4中，有的部分数字是负数，那是因为查找的长度值超过了C语言中int类型的最大数值表示范围，产生了溢出。
在图3.5中，是四种算法的查找耗费时间的对比图，通过将上面记录的实验数据导入到Matlab中，生成的对比图。从图中我们可以直观看到四种算法中，线性表直接查找所耗费的时间最长，带频度的线性变性能次之，相对比，二叉查找树和AVL树的查找性能要好得多，耗费的时间也大大的低于线性表。随着样本数量的增加，线性表查找的时间耗费整体趋势呈正比例增长，而二叉排序树和二叉查找树的时间变化比较缓慢。
图3.6和图3.7分别是对图3.5的局部进行放大所成的图。从这两幅图中，可以直观的看到两种线性表和两种二叉树数据结构算法的性能对比。
在下面，我们将呈现各算法总的查找长度的性能对比图。在图3.8中，我们可以看到，相对于直接线性表和带频度的线性表来说，二叉查找树和AVl树的总的查找长度要低得多。而图中在接近900000样本时，所出现的查找长度变为负数，是因为存储查找长度的int类型变量发生了正向溢出。
图3.9分别为对图3.8的局部放大，更清晰的呈现其性能的对比。从图3.8中可以直观的看到，带频度的线性表能够在线性表直接查找的基础上改进查找性能，降低总的查找长度。从图3.9中可以看到，AVL树的查找性能在平均的情况向，其查找所耗费的总的查找长度，大约为二叉查找树的3/4。
