在上一次的算法讨论中，我们一起学习了直接插入排序。它的原理就是把前i个长度的序列变成有序序列,然后循环迭代,直至整个序列都变为有序的。但是说来说去它还是一个时间复杂度为(n^2)的算法,难道就不能再进一步把时间复杂度降低一阶么?
确实,以上几种算法相对于之前的O(n^2)级别的算法真的是弱,效率可能还会差上千万倍，但是我们不妨翻看一下历史,你就会感觉每一种算法的出现都是很可贵的。
一、算法思想
希尔排序是希尔（Donald Shell）于1959年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序，同时该算法是冲破O(n2）的第一批算法之一。因为在1959年之前的相当长的一段时间里,各种各样的排序算法无论是怎么花样繁多,都始终无法突破O(n^2),在当时直接插入排序已经是相当优秀的了,而排序算法不可能突破O(n^2)的声音成为了当时的主流。希尔排序的出现带来了新的希望。
该方法的基本思想是：先将整个待排元素序列切割成若干个子序列（由相隔某个“增量”的元素组成的）分别进行直接插入排序，然后依次缩减增量再进行排序，待整个序列中的元素基本有序（增量足够小）时，再对全体元素进行一次直接插入排序。由于直接插入排序在元素基本有序的情况下（接近最好情况），效率是非常高的，因此希尔排序在时间效率上比前两种方法有较大提高。
希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：
- 插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率。
- 但插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位。
增量的选择：在每趟的排序过程都有一个增量，至少满足一个规则 增量关系 d[1] > d[2] > d[3] >..> d[t] = 1 (t趟排序)；根据增量序列的选取其时间复杂度也会有变化，这个不少论文进行了研究，在此处就不再深究。本文采用增量为n/2,以此递推，每次增量为原先的1/2，直到增量为1。
希尔排序的排序效率和选择步长序列有直接关系，从length逐步减半，这还不算最快的希尔，有几个增量在实践中表现更出色，具体可以看weiss的数据结构书，同时里面有希尔排序复杂度的证明，但是涉及组合数学和数论，希尔排序是实现简单但是分析极其困难的一个算法的例子。目前最好的序列是 塞奇威克（Sedgewick）的步长序列（摘自维基百科）
- 希尔（Shell）原始步长序列：N / 2，N / 4，…，1（重复除以2）
- 希伯德（Hibbard）的步长序列：1，3，7，…，2 k – 1
- 克努特（Knuth）的步长序列：1，4，13，…，（3 k – 1）/ 2
- 塞奇威克（Sedgewick） 的步长序列：1，5，19，41，109
二、算法步骤
算法步骤可以简单分为：
- 用增量进行分组
- 对每组进行插入排序
举个例子，按步长序列 [1,3,5，…] 对数组[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ] 进行希尔排序,首先按步长为5 进行分组，每行为一个分组得到：
13 25 45 10 14 59 27 94 94 73 33 65 25 82 23 39
然后对每行分组进行排序得到：
10 13 25 45 14 27 59 73 94 94 25 33 65 23 39 82
然后再按步长为3进行分组，每行为一个分组得到：
10 25 27 39 94 45 14 23 94 25 65 73 13 33 59 82
对每行分组进行排序得到：
10 25 27 39 45 94 14 23 25 65 94 13 33 59 73 82
此时数组如下所示，可以看到，元素本身已经基本有序了，此时插入排序的效率可以达到最高
[ 10 14 13 25 23 33 27 25 59 39 65 73 45 94 82 94 ]
看起来 比直接分组排序多了些步骤，而实际上是让一些小数跳过了一些比较和交换操作，直接从后面跳到了前面，从而提高了效率。下面这个动态图形象的解释了希尔排序的过程：
三、算法分析
希尔排序中对于增量序列的选择十分重要，直接影响到希尔排序的性能。我们上面选择的增量序列{n/2,(n/2)/2…1}(希尔增量)，其最坏时间复杂度依然为O(n2)，一些经过优化的增量序列如Hibbard经过复杂证明可使得最坏时间复杂度为O(n3/2)
| 排序方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 | 复杂性 | ||
| 平均情况 | 最坏情况 | 最好情况 | ||||
| Shell 排序 | O(n3/2) | O(n^2) | O(n) | O(1) | 不稳定 | 较复杂 |
（上面这个我引用的图空间复杂度有问题，原来是O(N)，我修改了，其实应该是O(1)）
对于希尔排序的一个理解，我觉得知乎上有个答主说的很好，从本质上剖析了高效算法之所以高效的原因：
希尔能突破O(N^2)的界，可以用逆序数来理解，假设我们要从小到大排序，一个数组中取两个元素如果前面比后面大，则为一个逆序，容易看出排序的本质就是消除逆序数，可以证明对于随机数组，逆序数是O(N^2)的，而如果采用“交换相邻元素”的办法来消除逆序，每次正好只消除一个，因此必须执行O(N^2)的交换次数，这就是为啥冒泡、插入等算法只能到平方级别的原因，反过来，基于交换元素的排序要想突破这个下界，必须执行一些比较，交换相隔比较远的元素，使得一次交换能消除一个以上的逆序，希尔、快排、堆排等等算法都是交换比较远的元素，只不过规则各不同罢了。
四、算法实现
代码在VC++环境下编译通过
/*Shell排序数组
version: Shell插入排序
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#ifndef N
#define N 100
#endif // N
int arr[N];
inline int Shell_Sort(int *arr)
{
register int i, j, k, tmp;
int incre; //选择一个增量，这里我们用简单的二分法
for(incre = N/20; incre > 0;incre /= 2)
{
for(i = incre; i < N/10; i++)
{
tmp = arr[i];
// 很明显和插排的不同就是插排这里是j = i - 1
j = i - incre;
while( j >= 0 && tmp < arr[j])
{
arr[j + incre] = arr[j];
j -= incre;
}
arr[j + incre] = tmp;
}
}
}
int main( int argc, int *argv[])
{
int i;
printf("please enter 10 numbers: \n");
for(i = 0;i < N/10;i++)
{
scanf("%d", &arr[i]);
}
Shell_Sort(arr);
printf("\n");
printf("the ordered array is: \n");
for(i = 0;i < N/10;i++)
{
printf("%4d", arr[i]);
}
}输入：
5，13，7，26，54，8，42，33，72，41
输出：
