前言
MatLab 2018a 官方教程
Matlab 2018a 官方教程[二]
接下来是要讲一讲Matlab的矩阵处理
1.特殊矩阵
- 通用的
- zeros
zeros(m): m*m
zeros(m,n) m*n
zeros(size(A)) 与矩阵A同样大小的零矩阵 - ones
- eye 对角线=1，矩阵是方阵，得到单位矩阵
- rand （0，1）区间均匀分布的随机矩阵
fix(a+(b-a+1)*x) 产生[a,b]区间上均匀分布的随机整数 - randn 均值=0，反差=1的标准正态分布随机矩阵
μ+σx : 得到均值为μ，反差为σ的随机数
- zeros
- 学科矩阵
- 魔方矩阵
>> M = magic(n)
# 每行的和为：(n+n³)/2
- 范德蒙矩阵:各种通信系统的纠错编码
Trial>> vander([1,2,3,4,5])
ans =
1 1 1 1 1
16 8 4 2 1
81 27 9 3 1
256 64 16 4 1
625 125 25 5 1
- 希尔伯特矩阵:较小的变动都会发生很大的变动
Trial>> format rat
Trial>> H = hilb(4)
H =
1 1/2 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
1/3 1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 1/6 1/7
- 伴随矩阵
Trial>> A = compan([1,-2,-5,6])
A =
2 5 -6
1 0 0
0 1 0
- 帕斯卡矩阵，杨辉三角
它的逆矩阵的所有元素也是整数
Trial>> P = pascal(4)
P =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
Trial>> inv(P)
ans =
4 -6 4 -1
-6 14 -11 3
4 -11 10 -3
-1 3 -3 1
2.矩阵变换
- 对角阵
对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵
数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵
单位矩阵：对角线=1
（1）提取矩阵的对角线元素
diag(A):产生一个列向量
diag(A,k)：提取矩阵第k条对角线的元素，产生一个列向量；中间k=0；往上k>0;往下，k<0;
（2）构造对角矩阵
diag(V)：以向量V为对角线元素，产生对角矩阵；
diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵； - 三角阵
上三角阵：
triu(A)：提取A的主对角线及以上的元素；
triu(A,k)：提取A的第k条对角线及以上的元素；
下三角阵：
tril(A)
trip(A,k) - 转置
符号：.’
共轭转置：’，在转置的基础上还要取每一个数的复共轭 - 旋转
rot90(A,k)：将A逆时针旋转90°的k倍，当k=1省略； - 翻转
fliplr(A)：左右翻转
flipud(A)：上下翻转
用途：提取副对角线，先把主对角线翻转，然后diag(A)提取； - 求逆
AB=BA=1
inv(A)
3.矩阵求值
- 矩阵的行列式值 :
方阵。
det(A)：求方阵A所对应的行列式的值；
det(inv(A)) = 1/det(A) - 矩阵的秩 ：
线性无关的行数或者列数；rank(A);
例如：魔方阵；奇数为满秩； - 矩阵的迹 ：
矩阵的对角线元素之和=矩阵的特征值之和
trace(A) = sum(diag(A)) - 矩阵的范数
度量矩阵或矩阵在某种意义下的长度：
三种向量：
(1)向量元素的绝对值之和 norm(V,1)
(2)向量元素的平方和的平方根 norm(V) norm(A,2)
(3)所有向量元素绝对值中的最大值 norm(V,inf)
三种矩阵：
(1) 矩阵列元素绝对值之和的最大值
(2) A’A矩阵的最大特征值的平方根 √λ
(3)所有矩阵行元素绝对值之和的最大值 - 矩阵的条件数
A的条件数=A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积
条件数越接近1，矩阵的性能越好，反之，性能越差；
(1)cond(A,1)
(2)cond(A,2) cond(A)
(3)cond(A,inf)
4.特征值与特征向量
Ax=λx: x:特征向量
E=eig(A)：A的全部特征值，构成向量E
[X,D]=eig(A)：A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量
几何意义：图像变换
5.稀疏矩阵
0远远大于1的个数
矩阵的存储方式
- 完全存储
- 稀疏存储：只存储矩阵的非零元素的值以及位置；
稀疏存储方式的产生
(1) A=sparse(S)，矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A
S = full(A) ， 矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S
(2) 直接建立稀疏存储矩阵
sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是零的稀疏矩阵
sparse(u,v,S)：uvS是三个等长的向量。S是要简历稀疏存储矩阵的非零元素，uv分布是S的行和列下标
(3)带状稀疏矩阵，对角线
[B,d]=spdiags(A)
A=spdiags(B,d,m,n)
(4)
speye(m,n) 单位矩阵
稀疏矩阵的应用
