编程之美——NIM(2) “拈”游戏分析

问题：

有N块石头和两个玩家A和B，玩家A先将石头随机分成若干堆，然后按照BABA…的顺序不断轮流取石头，能将剩下的石头一次取光的玩家获胜，每次取石头时，每个玩家只能从若干堆石头中任选一堆，取这一堆石头中任意数目（大于0）个石头。

请问：

玩家A要怎样分配和取石头才能保证自己有把握取胜？

如果石头的个数N为偶数，A只要将其分为相同的两份，就一定能取胜。

初始：XOR(M1, M1) == 0

玩家B：XOR(M1, M2) != 0  （其中一堆的个数减少到M2）

玩家A：XOR(M2, M2) == 0  （玩家A将另一堆的个数也减少到M2）

结果：XOR(M2, M2) == 0  （直到结束状态(0, 0)）

如果石头的个数N为奇数，B有必胜的方法。

初始：XOR(M1, M2, … , Mn) != 0

玩家B：XOR(M1, … , Mi’, … , Mn) == 0 （其中一堆Mi的个数减少到Mi’）

玩家A：XOR(M1, … , Mj’, … , Mn) != 0 

玩家B：XOR(M1, … , Mi’, … , Mn) == 0 （其中一堆Mi的个数减少到Mi’）

结果：XOR(M1, … , Mj’ , … , Mn) == 0 （直到结束状态(0,0)）

这里就有个问题：已知XOR(M1, M2, … , Mn) != 0，玩家B该改变那个Mi以使得XOR(M1, … , Mi’, … , Mn) == 0呢？

对于这个问题的答案，书中并未准确的结论。

经过本人的分析，所得到的结论如下：

设k=XOR(M1, M2, … , Mn)，已知k!=0，取一个数Mi，其二进制表达中在k的最高二进制位上的数为1，且这个

数Mi肯定存在（k的这个最高位在异或运算中肯定来自某一个Mi）。在程序中满足(Mi&k) > (k>>1)条件的数即为Mi。

简单证明：即假设k的二进制表达是1xx，那么Mi的二进制表达是x…x1xx，这样玩家B将该Mi改成Xi’=XOR(Mi, k)后，

Mi’的二进制表达是x…x0yy，肯定小于Mi，并且有XOR(M1, … , Mi’, … , Mn) == 0。

下面的程序模拟了石头个数N为奇数的情况，其中玩家B用我 I 表示，玩家A用She表示。

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1. #include <iostream>  
2. #include <cstdlib>  
3. #include <ctime>  
4. using namespace std;  
5.   
6. int A[10];  
7.   
8. int main()  
9. {  
10.     int n = 25; // 石头总数（可变）  
11.     int m = 5;  // 划分的堆数（可变）  
12.     int i, k, s;  
13.     int sum=0;  
14.     srand(time(0));  
15.     // 模拟m堆的石头个数，A[i]表示第i堆石头的个数  
16.     for (i=1; i<m; i++)  
17.     {  
18.         A[i] = rand()%(5*i-sum);  
19.         sum += A[i];  
20.     }   
21.     A[m] = n – sum;  
22.     while (true)  
23.     {     
24.         // 输出每个堆的石头个数  
25.         for (i=1; i<=m; i++)  
26.             cout << A[i] << ” “;  
27.         cout << endl;  
28.   
29.         int xor = 0;  
30.         for (i=1; i<=m; i++)  
31.             xor = xor^A[i];  
32.         for (i=1; i<=m; i++)  
33.             // 二进制表达中在k的最高二进制位上的数为1                       
34.             if ((A[i]&xor) > (xor>>1))  break;       
35.         printf(“I: get %d stones from %d heap\n”, A[i]-(A[i]^xor), i);        
36.         // 将Mi改为Mi’  
37.         A[i] = A[i]^xor;  
38.         // 对方随机取数据        
39.         for (i=1; i<=m && A[i]==0; i++);  
40.         if (i>m) break;  
41.         do  
42.         {  
43.             k = rand()%m + 1;  
44.         }while (A[k] == 0);  
45.         s = rand()%A[k] + 1;  
46.         printf(“She: get %d stones from %d heap\n”, s, k);  
47.         A[k] = A[k] – s;  
48.     }  
49.     return 0;  
50. } 
51. 
    
52. 参考：http://blog.csdn.net/linyunzju/article/details/7661060