2013编程之美全国挑战赛---相似字符串

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Description

对于两个长度相等的字符串,我们定义其距离为对应位置不同的字符数量,同时我们认为距离越近的字符串越相似。例如,“0123”和“0000”的距离为 3,“0123”和“0213”的距离则为 2,所以与“0000”相比,“0213”和“0123”最相似。

现在给定两个字符串 S1 和 S2,其中 S2 的长度不大于 S1。请在 S1 中寻找一个与 S2 长度相同的子串,使得距离最小。

Input
输入包括多组数据。第一行是整数 T,表示有多少组测试数据。每组测试数据恰好占两行,第一行为字符串 S1,第二行为 S2。所有字符串都只包括“0”到“9”的字符。

1 ≤ T ≤ 100 

小数据:字符串长度不超过 1000 

大数据:字符串长度不超过 50000

Output
对于每组测试数据,单独输出一行“Case #c: d”。其中,c 表示测试数据的编号(从 1 开始),d 表示找到的子串的最小距离。
Sample Input
3
0123456789
321
010203040506070809
404
20121221
211
Sample Output
Case #1: 2
Case #2: 1
Case #3: 1
解题思路:

这道题要求在S1中寻找与S2对应位置相同字符最多的子串。

对于小数据,通过枚举子串起点,再按照定义计算距离就可以通过。对于大数据,我们需要更高效的算法。

不过看了官方给出的解题报告,用FFT看不懂T_T。

如下:

如果可以“批量”地计算出S1中所有长度为|S2|的子串与S2的相同字符数量,那么剩下的问题就仅仅是在这些数量值中寻找最大值了。对于S2和S1中的任意一个长度为|S2|的子串,显然这两个字符串相同字符的数量是’0′, ‘1’, …, ‘9’各自相同字符数的总和,所以我们首先只考虑关于单个字符c的相同字符数量。于是可以把S1和S2看作成两个01序列:字符c对应于1,其他字符对应于0。具体地说,记S1和S2的长度分别为N1和N2,构造两个序列:

x[n] = x[n modN1] = (S1[n mod N1] == c) ? 1 : 0

y[n] = (S2[N2 -n – 1] == c) ? 1 : 0

 

其中x是循环序列,y对S2头尾调转。聪明的你一定发现了,这两个序列卷积的第n项(x * y)[n]就是S1[n + 1 … n + N2]与S2相同的c字符的数量,而卷积可以利用FFT在O(NlogN)时间内计算(https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform)。

 

于是我们可以得到这样一个O(NlogN)的算法:对于每个字符c,构造序列x和y,使用FFT计算卷积,最后把结果相加,找最大值即可。需要注意的是,FFT中涉及的大量sin和cos的计算结果需要提前预处理,否则很容易超时。

 

因为计算一次卷积需要执行3次FFT,所以上面的算法总共需要执行30次FFT,常数很大。别忘了FFT可以计算复数域的卷积,利用这个特点可以一次处理两种字符c1和c2,只需稍稍修改下x和y的定义。在x中,c1对应于1,c2对应于i,其他字符对应于0;在y中恰好相反,c1对应于i,c2对应于1,其他字符对应于0。若记卷积第n项(x * y)[n]为a + bi,那么b就是c1和c2的相同字符总数。经过这样的修改,计算量减少一半。

//////////////////

借鉴一个排名第二(chaozicen)的大牛的方法:不过感觉这道题最坏情况也是平方算法,因为有嵌套的for循环,官方给出的能优化到NlogN.
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector> 
#include <cstring>
#include <stdio.h> 
using namespace std;
vector<int> e[10];
int ans[60000];
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	int cas=1;
	while(t--)
	{
		string s1,s2;
		cin>>s1>>s2;
		int len1=s1.size(),len2=s2.size();
		for(int i=0;i<10;i++)e[i].clear();
		for(int i=0;i<len1;i++)
			e[s1[i]-'0'].push_back(i);
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		for(int i=0;i<len2;i++)
		{
			int ind=s2[i]-'0';
			for(int j=0;j!=e[ind].size();j++)
			{
				if(e[ind][j]-i>=0)ans[e[ind][j]-i]++;
			}
		}
		int dis=0;
		for(int i=0;i<len1-len2+1;i++){
			if(ans[i]>dis)dis=ans[i];
		}
		dis=len2-dis;
		cout<<"Case #"<<cas++<<": "<<dis<<endl;
			
	}
	return 0;
}

做一些说明:每一个e[i]保存的是每一个字符‘c’在字符串里面的位置索引。其中i=’c’-‘0’;然后从s2中去查找这个索引。

    原文作者:xiaozhuaixifu
    原文地址: https://blog.csdn.net/xiaozhuaixifu/article/details/9354671
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