问题一：给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0？例如N=10，N！=3628800，N！的末尾有2个0.

首先，先来看一下阶乘的定义：

阶乘还有一种递归定义法：

回到问题一，是不是一定要把N!给计算出来才能知道末尾有多少个0呢？答案是不是的。我们不妨把N!写成如下形式

其中K不能被10整除。那么问题就转换为求M的值，M是几n!后面就有多少个0。

当n不为1时，根据合数的定义，我们可以把n！写成若干个质因子乘积的形式：

由于10可以分解为2和5的乘积，故M的值仅仅和2和5的指数有关。即M=Min（X,Z）。而且我们知道一个数含有2这个因子的概率高于含有5这个因子的概率。故可以直接令M=Z（如1-10中，含2这个因子的数有2,4,6,8,10，而含5这个因子的数仅有5,10）。这样一来问题最终就转换成了求5的指数问题。

有了思路，下面直接上代码，但是第一次编程很容易写成如下这种情况：

int i,count=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
  if(i%5==0)count++;
}

这样很容易会漏解,比如25=5*5，但是在这里计数器只加了1次，正确的代码如下所示：

int i,j,count=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
  j=i;
  while(j%5==0)
  {
     count++;
     j/=5;
  }
}

这是对从1到N的所有数逐个遍历得到的，下面再提供一种解法，该解法只需N即可。

解法二：只考虑N。我们先从一个例子谈起，求26！后面有几个0。

我们不妨这样考虑：在1到26这些数中能提供5的无非就是5的一次方，二次方，三次方……

5的一次幂有26/5=5个（5,10,15,20,25）它们分别提供了1个5；

5的二次幂有26/25=1个（25）它提供了2个5；换句话说，也就是在一次幂提供了1个5的基础上又提供了一个。

所以1-26之中总共提供了5+1=6个5，故26!后有6个0。

int count=0;
while(n)
{
  count+= n/5;
  n/=5;
}

再回首一看，原来那么复杂的阶乘问题竟然仅仅通过几行代码就完成了，不得不感叹编程真的是一门艺术，分析与建模能力也不可或缺啊！