—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

看《编程之美》这本书，写的很不错，可是只看不把代码敲一下，总觉得不是真正的吸收了，而在敲代码的过程中说不定也会有更深层次的了解，所以就把其中的思路写下来同时也方便以后查阅。

PS：这篇博文是自己码的，里面的思想几乎全部都是摘抄自《编程之美》这本书，喜欢这本书，请买原书。

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–

写一个程序，求两个非负整数的最大公约数（greatest common divisor），如果两个正整数都很大呢，如果两个数差别比较大呢

首先求最大公约数一般是使用辗转相除法，代码如下：

int gcd1(int a, int b)
{
	if (b == 0)
	{
		return a;
	}
	return gcd1(b, a%b);
}

上述代码是根据辗转相除的定义来的，里面有%操作，对于大数来说，这是很费时的操作，有没有不用%的思路呢？

其实，（x， y） 和 （x-y， y）是相等的（）表示求两个数的最大公约数，当然这里需要x > y，当x < y 时候，可以实用 y-x 来保证满足题意。

代码如下：

int gcd2(int a, int b)
{
	if (0 == b)
	{
		return a;
	}
	if (a < b)
	{
		return gcd2(b, a);
	}
	return gcd2(a-b, b);
}

把%运算换成了-运算，本质上其实没有多大变化，gcd2也有问题，如当a 和 b相差比较大的时候（如222222 和 1）求公约数的过程中将递归很深而使得程序崩溃

有没有可能结合gcd1 和 gcd2的思路呢？分析如下：

我们知道，如果x = k *a， y = k*b 那么（x,  y）= k * （a,  b）并且若 x = p*x1，p为素数且y%p != 0的话（x, y)  = (x1, y)。那么使用最小的素数2便可以有下分析

1. x， y 均为偶数 则 （x， y） = 2 * （x  >> 1,  y  >> 1) 
2. x为偶数，y为奇数 则 （x， y） =  （x  >> 1,  y ) 
3. x为奇数，y为偶数 则 （x， y） =  （x ,  y  >> 1)
4. x为奇数，y为奇数 则 （x， y） =  （x  – y,  y )

代码如下：

int gcd3(int a, int b)
{
	if (0 == b)
	{
		return a;
	}
	if (a < b)
	{
		return gcd3(b, a);
	}
	if (a&1)
	{
		if (b&1)
		{
			return gcd3(a-b, b);
		}
		else
		{
			return gcd3(a, b >> 1);
		}
	}
	else
	{
		if (b&1)
		{
			return gcd3(a >> 1, b);
		}
		else
		{
			return 2 * gcd3(a >> 1, b >> 1);
		}
	}
}

通过移位和减法来避免取模运算，提高了算法的效率。

PS： 这里的示例代码都是用int来说明问题，可以轻易地推广到大数问题，只有重载相应的运算。