这个题目来自于编程之美上的NIM（1）一排石头的游戏，该类问题能考察面试者的思维，往往是两个人玩的一个游戏，具体形式公司可以具体设置，这里题目的意思是取石头的数目有规定，也可以使报数每次只能增加几个数字等。该类题目往往是要把最后一个取完石头定位为赢或者输。
该类题目第一个取石头的人占有主动权也有被动权，如果站在他这个位置上，他先动作能赢则占据绝对主动（最后取完石头为赢）；相反如果他采取动作后，对方能处处利用他所作的动作，他就被动了（最后取完石头为输）。
1. 原题 1.1 题目 N块石头排成一行，每块石头有各自固定的位置。两个玩家依次取石头，每个玩家每次可以取其中任意一块石头，或者相邻的两块石头， 石头在游戏过程中不能移位（即编号不会改变），最后能将剩下的石头一次取光的玩家获胜。这个游戏有必胜策略吗？ 1.2 解答 已知：石头数量为N，假设两个玩家分别为玩家A和玩家B，且玩家A先取石头。 当N<=2时，玩家A可以直接取完所有的石头，玩家A有必胜策略。 当N=3时，玩家A先取中间的1个石头，剩下的两个石头，玩家B只能取其中的1个，最后1个由玩家A取得，玩家A有必胜策略。 当N=4时，玩家A先取中间的2个石头，这会又剩下2个石头，玩家B还是只能取其中1个，最后一个由玩家A取得，玩家A有必胜策略。 当N>4，且N为奇数时，玩家A取中间的1个石头，剩下的左边石头情况和右边石头情况一样，那么无论玩家B如何取石头，玩家A只要 在相反的方向取相同数量的石头即可，如此下去，最后必然玩家A取得最后的石头，A有必胜策略。 根据上面的归纳，先手的玩家只有把中间的石头拿走，如果N是奇数，就拿走中间的1个石头，如果N是偶数，就拿走中间的2个石头， 这样留给玩家B一个对称的局面，接着，无论玩家B怎么拿石头，玩家A都保证对称局面不变，这样，最后肯定是A取得最后的石头。 2. 扩展1 2.1 题目 若规定最后取光石头的人输，又该如何应对？ 2.2 解答 N=1时，A必须取得这唯一的也是最后的一个石头，A必然输掉，这是必然结果，无需策略。 N=2时，A取一个石头，那么B必然取得剩下的一个石头，A有必胜策略。 N=3时，A取两个石头，那么B必然取得剩下的一个石头，A有必胜策略。 N=4时，若A取两个石头，那么B取一个石头，A只能取最后剩下的一个石头。 若A取一个石头，那么B取两个石头，A只能取最后剩下的一个石头。 因此，无论A怎么取，B都有必胜策略。 N=5时，A只需取边上的一个石头，这样就转化为N=4，B先取了，这样根据上面的分析，可知N=4时，后取的有必胜策略， 因此，A有必胜策略。 N=6时，A只需取边上的两个石头，这样就转化为N=4，B先取了，这样根据上面的分析，可知N=4时，后取的有必胜策略， 因此，A有必胜策略。 分析到这里，貌似是：N%3=1时，B有必胜策略，N%3=2和N%3=0时，A有必胜策略。但是证明方法一直没有想清楚， 网上一篇“NIM(1) 一排石头的游戏”的文章进行了证明，不过证明的核心地方一笔带过，相当于没有证明。 感觉这个扩展中比较麻烦的地方在于“一排石子”，而且N很大的情况下，如果一步一步A和B分别取石子后，最后得到的石子之间 可能不是连续的，这样结果就不确定了。比如：最后还有3个连续的石子，A先取，A有必胜策略；最后还有3个都不连续的石子，A先取，A肯定失败。所以呢，最后剩余的石头状态很重要，现在我只是分析到这里，也没看到网上谁很好的解决了这个问题。 3. 扩展2 3.1 题目 若两个人轮流取一堆石头，每人每次最少取1块石头，最多取K块石头，最后取光石头的人赢得此游戏。 3.2 解答 1）极端情况：K>=N 玩家A可以直接取掉所有石头，获得胜利。 2) 一般情况：K<N 这里面有个规律，就是，无论一个玩家拿了多少个石头，另一个玩家都能够选择相应的石头数量，使得两个玩家一起拿K+1个石头。 从上面这个思路，我们考虑N与K+1之间的数值关系： N = (K+1) * c + d，其中c>=1，d>=0 当d!=0时，玩家A先取d-1个石头，这样还剩(K+1)*c+1个石头。然后轮到玩家B取石头，不管玩家B取了多少个石头，玩家A都再取相应 的石头，使得玩家A和玩家B一起取(K+1)个石头，这样，还剩(K+1)*(c-1)+1个石头，如此往复，最后，肯定会剩下1个石头等着A来取。 举例说明： 剩余石头数目 取石头 (K+1) * c + d A取d-1个 (K+1) * c + 1 B取X个，A取(K+1-X)个 (K+1) * (c-1) + 1 … … … 1 A取得最后一个石头 0 当d=0时，无论A取多少个石头，B取相应的石头，使得A和B一起取(K+1)个石头，这样最后取到石头的肯定是玩家B。 举例说明： 剩余石头数目 取石头 (K+1) * c A取X个,B取(K+1-X)个 (K+1) * (c-1) … … … K+1 A取X个,B取(K+1-X)个 0 即N%(K+1)=0时，玩家B有必胜策略，N%(K+1)!=0时，玩家A有必胜策略。 可以看出来，如果K很大的话，而N的数值是随机的话，先手的优势是很明显的。 |
