平衡二叉树和红黑树最差情况分析

1.经典平衡二叉树

平衡二叉树（又称AVL树）是带有平衡条件的二叉查找树，使用最多的定理为：一棵平衡二叉树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差为1的二叉查找树。因为他是二叉树的一种具体应用，所以他同样具有二叉树的性质。例如，一棵满二叉树在第k层最多可拥有个节点（性质1）。一棵树的高度为其从根节点到最底层节点经过的路径数（例如只含一个节点的树的高度为0）（性质2）。并且已被证明，一棵含有N个节点的平衡二叉树的高度最多（粗略来说）为。下面我们来尝试总结如何得到一个高度差最大的平衡二叉树（查找性能最差）。

由平衡二叉树的定义可知，左子树和右子树最多可以相差1层高度，那么多个在同一层的子树就可以依次以相差1层的方式来递减子树的高度，如下图所示是一个拥有4棵子树的树的层高最大差情形（图1）：

图1 拥有4颗子树的平衡二叉树最大高度差

该图虚线框中的子树，最左端的节点树高度为0，最右端的节点树的高度为2，因此该平衡二叉树的内部子树最大高度差为2。

利用这样的性质，我们就可以依次递推，1棵子树最大高度差为0层，2、3棵子树最大高度差为1层，4、5、6、7棵子树最大高度差为2层，8至15棵子树最大高度差为3层，16至31棵子树最大高度差为4层……

假设n为子树的数量，m为最大高度差，可得：

进一步分析，假设一棵高为h的平衡二叉树的最大高度差为m（假设最小的子树高度为0），且m的高度差由n（此处只考虑分界点情形，即n为2的幂级数）棵子树达成。由平衡二叉树的性质（性质1和性质2），可得如下式：

化简后最终可以得到一个简单的结论（似乎这个结论在本文之前没人关注过，此处仅仅考虑了最差情况，不过对于实际应用和性能分析已经完全够用，详细完整的数学证明感兴趣的读者可以尝试证明）：

也就是说，一棵高为h的平衡二叉树，其内部子树的最大高度差可以达到（结果取整，不舍入）。举例来说，一棵高度为8的平衡二叉树，其内部子树的最大高度差为4，同理，一棵高度为9的平衡二叉树，其内部子树的最大高度差为5，如下示（图2）：

图2 高度为
9
的平衡二叉树的最大高度差

2.红黑树

历史上AVL树流行的一种变种是红黑树（red black tree）。红黑树也是许多编程语言底层实现采纳较多的数据结构（例如Java的TreeSet和TreeMap实现）。红黑树是具有下列着色性质的二叉查找树：

1.每一个节点或为黑色或为红色。

2.根节点时黑色的。

3.一个红色节点的儿子节点必须全部是黑色。

4.从任意一个节点到一个null的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。

以上着色法则的一个结论是：红黑树的高度最多为，这个结论似乎还不如经典平衡二叉树。下面我们来分析由以上着色法则规定的红黑树的最差情形。

由规则4可知，只要在一个节点的一侧子树尽可能多的使用红色节点，而另一侧尽可能少甚至不使用红色节点，就可以拉开左右子树的高度差，如下图所示（图3）：

图3 红黑树高度差形成原因

则我们可以显而易见的得到一个结论：一棵含有k个红色节点的红黑树，理论上其内部子树最大高度差就可以达到k。

既然红黑树理论上缺陷如此大，那为什么实际应用中反而采纳较多？深入研究红黑树的具体实现方式，可以发现，红黑树在实际应用中的实现形式已经超出其原本定义的规则。红黑树的理论阐述不够完善，也是其难于理解和新手难以自己动手实现的原因之一。（注：本文采纳Mark Allen Weiss的《Data Structures and Algorithm Analysis in Java》一书当中对于红黑树的实现方式，这也是实际中使用最多的实现方式）。

经过我的归纳总结，现实中的红黑树在实现过程中增加了以下限制条件：

5.新插入的节点必须为红色。

6.任意节点其左右子树最多相差2层红节点。

7.插入过程（仅限于插入点那条路径上）中不允许任一节点有2个红色儿子节点。

增加了以上三条限制条件的红黑树甚至都不需要再多加分析了。规则6和7建立在规则5和红黑树复杂的插入调整的基础之上，规则6恰巧直接阻止了经典平衡二叉树出现最差情形的可能性，规则7甚至是对红黑树到AA树（AA树实现尚不完善，目前实际性能较差，本文不做深入讨论）的一种过渡。以下图展示了连续向红黑树中插入右节点（依次插入30,40,50,60,70,80,90,100）的变化过程（图4，图5）：

图4 依次向红黑树插入
30,40,50,60
情形

图5 继续向红黑树插入
70,80,90,100
情形

3.性能测试

本文的测试环境为Window7操作系统，代码全部使用Java编写，jdk版本为1.8.0，测试均采用随机数生成器产生的九位数数字数据。为尽可能排除编译器优化以及操作系统调度造成的影响，每一项测试均运行100遍取平均时间，例如对于万级测试：生成100次不同的1000个随机九位数，将每次生成的结果分别对平衡二叉树、红黑树、AA树进行树的构造，构造完成后重新循环这10000个数进行平均查找时间的统计，在查找期间还会生成节点数据量十分之一（此处即1000）个假数据来保证查找不到的情况也被统计进查找时间，也就是说万级测试是在操作1100000次后得出的结果。最终测试结果如下：

注：AA树的各项性能均介于红黑树和平衡二叉树之间。但是AA树的深度受随机生成的数字影像波动较大（最差情况出现次数多，并且最差情况树高最高）。

由此总结如下（如果前文都没看懂没有关系，记住下面的结论）：

性能：红黑树>平衡二叉树>AA树；

编程实现难度:红黑树>平衡二叉树>AA树。

虽然各种树的实现以及具体应用千差万别，但是没有最好的数据结构只有最合适的数据结构，此处比较的三种查找树在实际应用中性能上只有细微的差别（最差情况出现的概率毕竟非常小），在生产实践中完全不会带来性能的明显缺陷，因此选择合理的实现方式，保证程序的功能健全性，才是选择数据结构的最重要选择因素。

相关代码下载地址（该内容提供了三中树的Java代码实现）：https://github.com/bigbird231/Tree