LeetCode算法题-Perfect Number(Java实现)

这是悦乐书的第249次更新,第262篇原创

01 看题和准备

今天介绍的是LeetCode算法题中Easy级别的第116题(顺位题号是507)。我们定义Perfect Number是一个正整数,它等于除了它自己之外的所有正除数之和。现在,给定一个整数n,编写一个函数,当它是一个完美数字时返回true,否则返回false。例如:

输入:28

输出:true

说明:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

注意:输入数字n不会超过100,000,000。(1E8)

本次解题使用的开发工具是eclipse,jdk使用的版本是1.8,环境是win7 64位系统,使用Java语言编写和测试。

02 第一种解法

特殊情况:最小Perfect Number为6,奇数不可能是Perfect Number

正常情况:num对从2开始的正整数做取余操作,等于0,就表示能够被整除,将能够被整除的数累加起来,最后判断与num是否相等。在循环中,我们可以将num除以2再判断,而不必一直遍历到num,因为超过num/2的数再乘以另外一个数(1除外)肯定会大于num。

此解法的时间复杂度是O(n),其中n只用判断n/2次,空间复杂度是O(1)。

public boolean checkPerfectNumber(int num) {
    if (num < 6 || num%2 != 0) {
        return false;
    }
    int sum = 1;
    for (int i=2; i<=num/2; i++) {
        if (num%i == 0) {
            sum += i;
        }
    }
    return sum == num;
}

03 第二种解法

我们是不是可以将for循环中的循环次数再缩小一点?第一种解法是num/2次,而一个正整数它所包含的因子,两两相乘,当两因子无限逼近的时候,就是正整数的平方根,但是使用平方根作为循环次数的上限,会把右边的因子排除掉,所以我们需要提前就加进去,当num能被当前因子整除时,它的商就是右边的一个因子,所以需要将两个因子都加上。最后还是判断因子之和是否与num相等。

此解法的时间复杂度是O(n),其中n只用判断根号n次,空间复杂度是O(1)。

public boolean checkPerfectNumber2(int num) {
    if (num < 6 || num%2 != 0) {
        return false;
    }
    int sum = 1;
    for (int i=2; i<=Math.sqrt(num); i++) {
        if (num%i == 0) {
            sum += i + num/i;
        }
    }
    return sum == num;
}

04 第三种解法

最小的Perfect Number是6,接着是28,然后是496

6: 2×3 true

28: 4×7 true

120: 8×15 false

496: 16×31 true

2016: 32×63 false

8128: 64×127 true

上面这些数,可以看做2的(n-1)次方与2的n次方再减1的乘积,其中n从2开始,但是并非所有的n都符合,在上面几个数中,当n等于4和6时是不符合Perfect Number的,这里直接给出符合的数吧,2,3,5,7,13,17,19,31,至于17,19,31这几个次方数,做乘法会溢出,可以直接不考虑,至于为什么是这几个数,可以一个一个往下推,不难。当然,你要是把int范围内的5个Perfect Number(第5个是33550336)都找出来了,直接做判断也行。

public boolean checkPerfectNumber3(int num) {
    int[] primes = {2,3,5,7,13};
    for (int p: primes) {
        if ((1 << (p - 1)) * ((1 << p) - 1) == num) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

05 小结

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    原文作者:悦乐书
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/6778aa14f33e
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