卷积是个非常宽泛的概念，通常来讲，都是指泛函分析里面的卷积，知乎有篇 @马同学 写的介绍卷积的文章相当不错：

如何通俗易懂地解释卷积？​ www.zhihu.com

不过与通俗的卷积不同，我们这里要讲的是子集上的卷积（毕竟我们的研究对象一直都是集合）。

子集卷积（subset convolution）与覆盖积（cover product）

定义：两个函数 的子集卷积运算定义为一个函数 ，满足对于 ，有， 等价得我们可以定义为 。画个图解释一下：

覆盖积与子集卷积很类似，唯一的不同在于，覆盖积不要求 。

定义：两个函数 的覆盖积运算定义为一个函数 ，满足对于 ，有，。同样画个图解释一下（这画工真是太差了！）：

子集卷积和覆盖积的应用非常广泛（以后我会讲一些应用），特别是很多图论问题（怕是我只会一丢丢图论）。

快速子集卷积与覆盖积

让我们来思考一下，如何计算出来子集卷积或者覆盖积。本着暴力美学（乱搞）的态度，直接枚举子集，那么我们就能在 内计算出子集卷积来，能在 计算出覆盖积来，这真是太慢了！

我们知道，通常的卷积运算，是可以利用快速傅里叶变换来加速的，将卷积形式变换为乘积形式，所以类比之下，我们考虑是否能有一种变换，能把子集卷积或者覆盖积变换为乘积形式。

为了方便起见，我们先定义一下逐点乘积（pointwise product）：

定义：对于两个函数 而言，我们定义他们的逐点乘积为一个函数 ，满足对于任意 有， 。显然这是能在 时间内计算完成的。

定理10：覆盖积的zeta变换等于zeta变换的逐点乘积，即： 。

证明：对于 ，我们有：证毕。

这个非常漂亮简捷的结论，允许我们在 的时间内计算出覆盖积的zeta变换的所有 个值（这是因为由定理9，zeta变换的计算是在 的时间内），从而我们可以再通过定理8，利用再做一次Mobius变换，从而得到 。（即利用了 ）。所以我们得到以下定理：

定理11：对于两个函数 ，如果给出了 和 总共的 个输入值，那么覆盖积 的所有 个值可以在 的时间内计算得到。

对于子集卷积，我们需要先按照 的大小进行分类再计算，我们令， 其中 表示，如果 则为 ，否则为 。

接下来我们稍稍推导一下： 于是我们就能用覆盖积来解决子集卷积啦。所以我们得到以下定理：

定理12：对于两个函数 ，如果给出 和 总共 个输入值，那么子集卷积 的所有 个值可以在 的时间内计算得到。