这一节，我们讲讲子集卷积在任意环上的推广，和在min-sum半环上的一个做法。

讲之前解释一下一些简单的代数结构。

一些代数概念

半群（semigroup）：如果一个集合 和定义在这个集合上的一个二元运算 ，（既是函数 ），满足结合律（Associaltivity），即： 那么称 为半群。

幺半群（monoid）：如果对于一个半群 ，存在单位元（Identity），即： 则称 为幺半群。

群（group）：如果一个幺半群 ，满足任意元素存在逆元（Invertibility），即： 则称 为群。

阿贝尔群（Abelian group）：如果一个群 ，满足交换律（Commutativity），即： 则称 为阿贝尔群，或者交换群。

比如正整数的加法 就是一个半群，而自然数的加法 就是一个幺半群，整数的加法 就是一个阿贝尔群。

半环（semiring）：如果一个三元代数结构 ，对于 都满足结合律和交换律， 对于 来说满足分配律（distrbutivity），即： ，并且存在两个元素 ，满足 是 的零元素，即 ， 是 的单位元， 是 的单位元，那么称 是半环。

环（ring）：如果一个三元代数结构 ，满足 是个阿贝尔群， 是一个幺半群，并且 对于 满足分配律，那么 就是一个环。

环与子集卷积

在之前的文章中，我们讨论的都是值域定义在环 的函数，其中 是整数加法， 是整数乘法。而我们所有的变换，zeta变换，Mobius变换，或者之后的子集卷积运算，都没有超出环的范围。

换句话说，只要我们想，我们可以对值域定义在任意的环上的函数进行zeta变换，Mobius变换，子集卷积运算。

举个栗子：我们有两个函数 ，我们想计算如下卷积： ，即把 乘运算，换成了 取最小运算。即环 （这是一个合法的环，大家可以思考一下为什么）。这样的卷积，依然是可以利用zeta变换和Mobius变换快速计算，当然我们需要把zeta变换和Mobius变换的 运算也变成 。

半环min-sum上的子集卷积与覆盖积

我们现在可以计算 环上的子集卷积了，但是如果我们想换过来呢？比如我们想计算 上的子集卷积。

然而很不幸， 并不是一个阿贝尔群（因为没有逆元），即对于 ，不存在 ，使得 ，从而 不是一个环。

不难验证， 其实是个半环。zeta变换对于半环来说是没有任何问题的，但是到了Mobius变换，我们就需要求 的逆元（因为运算中有个 ），所以我们不能计算Mobius变换。但这并不意味着min-sum上的子集卷积是不可做的，我们可以转换到一个环上（虽然会增加复杂度）。

定理13：对于两个函数 ，输入 全部 个值，所有 在min-sum半环上的子集卷积的 个输出值可以在 的时间内计算出来。对覆盖积也成立。

证明：令 ，我们构造连个新的函数 ，其中 。我们考虑卷积： 其中 表示 的 的个数。这个卷积是一般的子集卷积，所以我们是能直接算出来等式左侧的。我们知道 ，所以我们可以计算出所有的 （考虑等式左侧表达成 进制）。

所以我们就能得到， 。

我们将半环上的 转换到环上的 ，所以我们可以在 的复杂度内计算。但是由于 是个 bit的大整数，所以在这个整数上的四则运算的复杂度也该被考虑进来。故我们有复杂度 。

证毕。

下一节将讲一些子集卷积的应用~