拟阵及应用（二）

2019年4月19日 378次阅读来源: 好地方bug

上一节讲了拟阵的定义，这一节让我们来看看一些例子。

线性拟阵（Linear Matroid）和线性表出（Linear Representation）

鉴于拟阵源于线性代数，那自然，向量的线性独立应该能很好的表达成一个拟阵。所以我们的第一个例子就是线性拟阵（Linear Matroid）。

首先令《拟阵及应用（二）》是个有限集，对于每个中的边，有一个对应的向量。我们设这些向量，都在同一个域下，并具有相同的维度。此时，我们构造的一个集族：对于一个集合，如果，那么对应的向量集合线性独立，即《拟阵及应用（二）》线性独立。

简单来说，这个集族就是一些线性独立的向量集合构成的。

现在我们来证明一下《拟阵及应用（二）》是一个拟阵。

引理2.1： 《拟阵及应用（二）》是一个拟阵。

证明：我们用拟阵公理来证明《拟阵及应用（二）》是一个拟阵。首先显然，其次对于遗产性质，我们知道，如果一组向量线性独立，那么其子集必定也是线性独立的，所以遗传性质满足，我们现在只用考虑交换性质。

考虑两个集合《拟阵及应用（二）》。由于独立，所以所张开的空间的维度是，张开的维度是。这表明，一定有一个向量，其不能被线性表出，所以。故交换性质满足。证毕（知乎就没有小方块的功能嘛，森气）。

我们来看看我们在构造线性拟阵时干了个啥事，我们把集合中的每个元素赋予了一个向量，并用向量的独立性来讨论了拟阵的独立性。那反过来想，如果一个拟阵能够表达成向量的模式，那我们就能更方便的用线代的技术来研究拟阵了。这就引出了一个非常重要的概念，线性表出（Linear Representation）。

我们定义一个矩阵《拟阵及应用（二）》，其由上述集合的每个边对应的向量作为列向量构成。我们称，在上表出拟阵。反过来，如果存在一个矩阵可以表出拟阵，那称是可表出的。

《拟阵及应用（二）》
表出的对应关系，将独立集对应到线性独立的向量上

简单说，判断一个拟阵能不能被表出，问能不能找到一个矩阵，使得矩阵的列向量的独立性能和拟阵的独立性对应起来。

特别的如果《拟阵及应用（二）》是，那么我们称拟阵是二元拟阵（binary matroid）。如果一个拟阵可以在某个域上被表出，那我们说这个拟阵是线性拟阵（linear matroid），或者可表出的。

很容易注意到，如果矩阵《拟阵及应用（二）》表出拟阵，那么和具有相同的秩。如果的秩为，通常情况下，我们都可以认为只有行。

均匀拟阵（Uniform Matroid）

均匀拟阵可以说是最简单的拟阵了，但却是非常有用的。

均匀拟阵《拟阵及应用（二）》的定义为：集合，集族为所有大小不超过的的子集。

大家一定能很轻松证明，这样的定义是符合拟阵公理的，并且具有秩《拟阵及应用（二）》。现在让我们来看看怎么表出均匀拟阵。我们令。我们尝试在域上表出均匀拟阵。

对于《拟阵及应用（二）》中的每个边，我们给它赋予一个唯一的上的一个非零元。我们令向量。

现在我们来考察一下独立性是否能够对应。对于任意大小大于《拟阵及应用（二）》的的子集，其对应的向量组的个数是大于的，我们知道，维向量，如果超过个，必然是线性相关的，所以不独立的集合，对应了不独立的向量组。而对于任意大小不超过的的子集，其对应的向量组是《拟阵及应用（二）》，我们令矩阵是由这些向量构成的矩阵，那么就是我们熟悉的范德蒙德矩阵，所以具有行列式：

《拟阵及应用（二）》

所以《拟阵及应用（二）》是线性独立的，这样独立的集合便对应的独立的向量组。

图拟阵（Graph Matroid）

说了这么多代数上的拟阵，我们来讲讲图论上的一个拟阵，图拟阵（Graph Matroid）。

顾名思义，图拟阵是建立在一个图上的拟阵。给定一个无向图《拟阵及应用（二）》，图拟阵的全集为边集（这就是为什么拟阵里元素要叫做边），如果边子集的生成子图 无圈，那么是的独立集。

首先让我们看看这样的构建是否是个拟阵。首先，空集没有圈，所以空集是独立的。其次对于《拟阵及应用（二）》，如果的生成子图无圈，那么自然的生成子图也是无圈的，所以遗传性质满足。

考虑交换性质，对于独立的集合《拟阵及应用（二）》，满足。我们看看有多少个连通块，由于是的生成森林，所以我们知道其连通块的个数应当是；同理，的连通块个数为。这说明连通块个数应当小于的连通块个数。所以总有一条边，是跨在《拟阵及应用（二）》的两个不同连通块之间的，将这条边加入必然不会产生圈，即是独立的。故交换性质满足。

《拟阵及应用（二）》
(V(G),A)有3条边3个连通块，(V(G),B)有4条边2个连通块，所以总有一条边b连接A的两个不同连通块

现在让我们来想想，图拟阵是否能被表出呢？事实上，是可以的，而且非常容易。

定理2.1：在任何域下，图拟阵都是可表出的。

证明：对一个图《拟阵及应用（二）》的拟阵，我们来构造一个矩阵来表出。首先，我们图上每条边随意赋予方向，构造出有向图。接下来，对于每条边，我们构造一个向量，这个向量上，除了以外的分量都是，而的分量是，《拟阵及应用（二）》的分量为。现在我们来证明上的一组向量是线性独立的，当且仅当这组向量对应的边集是无圈的。

《拟阵及应用（二）》
一个图G=({1,2,3,4},{a,b,c,d,e})的矩阵的构造

必要性：假设《拟阵及应用（二）》包含一个圈，对于上的每条边我们构造一个值。先任取一条上的边，将其赋予值，顺着至的方向遍历整个圈，如果发现边的方向与我们遍历的方向相反，则赋予值，否则赋予值。那么对于圈《拟阵及应用（二）》上的一个点来说，其在圈对应的向量组里会出现两次，这两次出现的分量乘以我们赋予的值的和应当是。所以我们有。即对应的向量组不是独立集，矛盾，所以无圈。