这一节主要介绍一些拟阵的问题，和相关的算法。
输入的界定
在讨论问题或者算法之前，我们写界定一下一个拟阵的输入是啥。通常来说，我们表达拟阵与两种方式：
- 列举所有的独立集
- 给出表出矩阵
在我们接下来的讨论中，我们都假设问题的输入，是第二种方式，即我们通过给出表出矩阵 来表达一个拟阵
。
那么，可能大家容易想到的一个问题就是，对于一个集合 ，我们想知道
是否是
的独立集。当然，这是很容易办到的。因为我们只需要判断
在矩阵
中对应的向量是否线性独立，而高斯消元（Gaussian elimination）（搞死小圆）就可以在多项式时间内判断向量组的线性独立。判断一个集合
是否是独立集，除了通过高斯消元，在不同的问题中，我们也可以通过不同的办法来实现（比如在均匀拟阵中，只用回答
大小是否超过秩）。
接下来，我们讨论一些关于基与环的问题，这都有着很实际的意义。
寻找最小带权基
问题定义：全集 中的每个边有个权重
，我们的任务是寻找一个权值和最小的基。（对于找最大权值，我们只需要对权值求相反数，因为权值函数是定义在
上的）。
先回顾一下基的定义：
基（Basis）：一个极大独立集叫做基。
比如在均匀拟阵中，大小为秩的子集便是基；在图拟阵中，一棵生成树（如果图连通的话）就是基。
咦！那寻找最小带权基，在图拟阵中不就是最小生成树嘛？（你可能会发出这样的疑问）。没错，而且好巧不巧，解决最小生成树的贪心算法Kruskal，同样能解决其他拟阵的最小带权基问题！贪心算法流程如下：
- 令初始解集
- 不断扩大解集
- 在第
步，寻找未加入解集，且权值最小，并能保证解集独立的边
- 若能找到
- 将
加入解集，
- 若不能找到
- 输出当前解集
这个算法简单粗暴，而且效率非常高（在图拟阵问题中是 的复杂度）。
定理3.1：上述贪心算法输出的 为最小带权基。
证明：首先 一定是一个基，这是因为我们找到的是一个极大的独立集。现在证明
是最小带权基。
我们令 是
的最小带权基，我们把
中的元素按照非递减的顺序排序
，设
。我们通过归纳法证明
的权值至多是
的权值。对于
和
来说，显然是满足的。对于
，假设
的
的权重都不超过
的权重。
我们令 是第
步加入
的边。由交换性质，我们知道
，使得
是独立的。然而在算法的过程中，我们选择了
而不是
，这意味着
。由于
是非减的，所以有
。所以由归纳假设：
证毕。
利用S_{i-1}比X_i小，证明每次加入的元素总比X对应的元素权值更小
这个贪心算法除了应用在求最小生成树，还能应用在哪里呢？可以看出，只要讲问题的限制描述成拟阵，而问题的目标是求最小或最大带权基，那么就能应用！比如说，给定一些同维度的带权向量，求最小权的极大线性无关向量组，也是能用贪心做的（似乎不是很会举例）。
寻找最小或最大带权环
既然最小带权基能多项式做，那能不能多项式做最小或最大带权环呢（星星眼）？答案是，不能！除非P=NP。
对于最大带权环问题，其在图拟阵上，等价于寻找最大的圈，如果权值都是1的话。然而这和著名的NP-complete问题哈密顿回路等价，所以寻找最大带权环是NP-hard的。
对于最小带权环问题，其在图拟阵上，等价于寻找最小的圈，当然这是多项式可解的。但这并不意味着，寻找最小带权环是多项式可解的。事实上，我们可以通过一个叫Even Set的NP-complete问题规约证明寻找最小带权环是NP-hard的。
Even Set 问题是说给定一个全集 ，和一个
上的集族
，和一个整数
，问是否存在一个集合
，其大小不超过
，且
，
是个偶数。
对任意一个Even Set的实例，我们构造一个二元拟阵 。考虑这个二元拟阵
的表出矩阵为
，每一行代表一个集合
，每一列代表一个元素
。当第
个元素在第
个集合中时，
否则
。
如此一来，寻找集合 ，便是在
中找寻最小带权环。所以最小带权环也是NP-hard的。
更不幸的是，寻找最小带权环，以解集大小作为参数，甚至是属于W[1]-hard的，即在一定假设下，似乎也没有FPT算法。另一方面，如果限制了拟阵可以在一个有限域表出，那么是存在以解集大小作为参数的FPT算法[1, 2]。但如果限制拟阵是可以在一个整环上表出，是否存在以解集大小作为参数的FPT算法，至今也是Open的。
这一节就到这里啦，下一节讲讲非常非常棒的拟阵交（科研的好工具；ACM选手看着就眼馋）。
Ref.
[1] Hlinený, P.: Branch-width, parse trees, and monadic second-order logic for matroids. J. Combinatorial Theory Ser. B 96(3), 325–351 (2006)
[2] Geelen, J., Gerards, B., Whittle, G.: Excluding a planar graph from GF(q)-representable matroids. J. Combinatorial Theory Ser. B 97(6), 971–998 (2007)
