数据结构-树

:是n(n>=0)个节点的有限集,n=0时称为空树。在任何一棵非空树中:1 有且仅有一个特定的称为根(root)的节点; 2 n>1时,其余节点可分为m(m>0)个互不相交的优先集,其中每一个集合又是一棵树,称为根的子树。(n>0时根节点唯一,m>0时,子树个数没有限制,但他们一定互不相交)。

  • 结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)
  • 度为零的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点
  • 度不为零的结点称为 分支结点非终端结点,除根结点外,分支结点也称为内部结点
  • 各结点度的最大值称为 树的度
  • 结点的层次(Level)从根开始定义起,根为第一层,孩子以此类推,双亲在同一层的结点互为堂兄弟
  • 树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度

线性结构/树结构 对比

  • 线性结构

  • 第一个数据元素:无前驱

  • 最后一个数据元素:无后驱

  • 中间元素:一个前驱一个后驱

  • 树结构

  • 根结点:无双亲,唯一

  • 叶结点: 无孩子

  • 中间结点:一个双亲多个孩子

树的表示法

  • 双亲表示法:每个结点附设一个指针指向双亲结点的位置
  • 孩子表示法:每个结点设置多个指针,每个指针指向一棵子树的根结点,这种方法也叫多重链表表示法
  • 孩子兄弟表示法:每个结点设置两个指针,分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟

二叉树 可以为空,称为空二叉树,或者由一个根结点和两棵互不相交的,分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成

二叉树的特点:

  • 不存在度大于2的结点
  • 左右子树有序

二叉树的性质:

  1. 性质1:在二叉树的第i层至多有2^(i-1)个节点(i>=1)。
  2. 性质2:深度为k的二叉树至多有2^k – 1个节点。
  3. 性质3:二叉树中,终点节点(度为0)个数n0与度为2的节点个数n2关系:n0 = n2 + 1。
    分析:二叉树中节点的度可以是0,1, 2。也就是说需要证明度为0的节点和度为2的节点的关系不变。
    证明:
    设二叉树中,度为i的节点表示成ni。
    则二叉树总的节点数n = n0 + n1 + n2。
    因为除根节点外,每一个节点都是另一个节点的孩子,所以孩子数为n – 1。
    度为i(i = 1, 2, 3)的节点,有i个孩子,孩子数 n – 1 = n0 × 0 + n1 × 1 + n2 × 2 = 2 × n2 + n1。
    所以n0 + n1 + n2 – 1 = 2 × n2 + n1 => n2 = n0 – 1 => n0 = n2 + 1。
  4. 节点树为n的完全二叉树,根据:2^(n - 1) - 1 < n <= 2^n - 1,可知深度为log(2)(n) <向下取整> + 1
  5. 在按层编号的n个结点的完全二叉树中,任意一个结点i(1 <= i <= n)有:
    1). i = 1时,结点i是树的根,i > 1时,结点i的双亲为i/2(向下取整)。
    2). 2 × i > n时,结点i无左孩子,为叶结点,否则结点i的左孩子为2i。
    3). 2 × i + 1 > n时,结点i无右孩子,否则结点i的右孩子为2i + 1。
; 即把树按层映射到数组中,如果数组以0为起点,可以按照`性质5`求出结点i的父结点,左孩子结点,右孩子结点。
(defun parent (i)
  (if (= i 0)
      0
      (floor (/ (- i 1) 2))))

(defun left (i)
  (+ (* 2 i) 1))

(defun right (i)
  (* 2 (+ i 1)))

特殊二叉树:

  • 左(右)斜树:所有结点都只有左(右)子树的二叉树
  • 满二叉树:所有分支结点都存在左右子树,并且所有的叶子都在同一层上的二叉树,即当深度为k时,结点必须为2^k – 1个。
  • 完全二叉树:如果具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1<= i <=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则为完全二叉树

二叉树的遍历:

定义数的结构为:

tree {
l-child,
r-child
}
  • 前序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则先访问根结点, 然后前序遍历左子树, 再前序遍历右子树.
preorder (tree tr) {
    if (tr) {
        visit(tr)
        preorder(tr -> l-child)
        preorder(tr -> r-child)
    }
}
  • 中序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则从根结点开始, 中序遍历根结点的左子树, 然后访问根结点, 最后中序遍历右子树.
inorder (tree tr) {
    if (tr) {
        inorder(tr -> l-child)
        visit(tr)
        inorder(tr -> r-child)
    }
}
  • 后序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树, 最后访问根结点.
postorder (tree tr) {
    if (tr) {
        postorder(tr -> l-child)
        postorder(tr -> r-child)
        visit(tr)
    }
}
  • 层序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则从树的第一层, 从上而下逐层遍历, 在同一层中, 按从左到右的顺序对结点逐个访问.

线索二叉树(Threaded Binary Tree)

  • 指向前驱或后继的指针称为线索, 加上线索的二叉树表称为线索链表, 也就是线索二叉树.
  • 对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程称作是线索化.

树转为二叉树

  • 加线, 在所有兄弟结点之间加一条连线.
  • 去线, 对树中每个结点, 只保留它与第一个孩子结点的连线, 删除它与其它孩子结点的连线.
  • 层次调整, 以树的根节点为轴心, 将整棵树顺时针旋转一定角度, 使之结构层次分明. 注意: 第一个孩子是二叉树的左孩子, 兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子.
    原文作者:安静1337
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/24a1d80d7d52
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