一，树

树是一种分层结构。
树结构之所以在算法理论与实际应用中始终都扮演着最关键的角色，并且有着不计其数的变种，其实并不足为怪⎯⎯层次化的概念几乎蕴含于所有事物之中，乃是它们的本质属性之一。从文件系统、Internet 的域名系统、数据库系统到人类社会系统，层次结构无所不在。

** 节点的深度 **——从树根通往任一节点的路径长度，恰好等于该节点的深度。
树中的元素也称作节点（Node）。此外，按照如下规则，树中的每个节点v都被赋予了一个特殊的指标——深度，记作depth(v)：

• 每个节点的深度都是一个非负整数；
• 深度为0 的节点有且仅有一个，称作树根（Root）；
• 对于深度为k (k≥1)的每个节点u，都有且仅有一个深度为k-1 的节点v 与之对应，称作u 的父亲（Parent）或父节点。

树的深度与高度——树中所有节点的最大深度，称作树的深度或高度

任一节点的孩子数目，称作它的“度”（Degree）
一个节点是叶子，当且仅当它的度数为零。

树中节点的数目，总是等于边数加一
它告诉我们：就渐进复杂度而言，树中边的总数与节点的总数相当。正是基于这一事实，在对涉及树结构的有关算法做复杂度分析时，我们可以用节点的数目来度量树结构本身的存储空间复杂度。

树中任何两个节点之间都存在唯一的一条路径

{ (p, l), (l, f), (f, b), (b, a), (a, d), (d, h), (h, n) }构成了一条联接于节点p和n之间长度为7 的路径。

二叉树——每个节点均不超过2 度的有序树，称作二叉树（Binary tree）。

二叉树相关结论

• 在二叉树中，深度为k 的节点不超过2k 个
• 高度为h 的二叉树最多包含2h+1-1 个节点
• 由n 个节点构成的二叉树，高度至少为⎣log2n⎦。
• 在二叉树中，叶子总是比2 度节点多一个。

真二叉树——不含1 度节点的二叉树，称作真二叉树（Proper binary tree），否则称作非真二叉树（Improper binary tree）。

满二叉树——若二叉树T 中所有叶子的深度完全相同，则称之为满二叉树（Full binary tree），如下图为高度为3的满二叉树

完全二叉树——若在一棵满二叉树中，从最右侧起将相邻的若干匹叶子节点摘除掉，则得到的二叉树称作完全二叉树（Complete binary tree）。

二，树抽象数据类型及其实现

1，树的模型——“父亲-长子-弟弟”模型

根据树的定义，每个节点的所有后代均构成了一棵子树，故从数据类型的角度来看，树、子树以及树节点都是等同的。这里，将它们统一为一个类：Tree。

节点的结构：

树的结构：

2，树ADT

3，基于链表实现树

接口：

package dsa.Tree;

/*
 * 树ADT接口
 */
public interface Tree {
    // 返回当前节点中存放的对象
    public Object getElem();

    // 将对象obj存入当前节点，并返回此前的内容
    public Object setElem(Object obj);

    // 返回当前节点的父节点
    public TreeLinkedList getParent();

    // 返回当前节点的长子
    public TreeLinkedList getFirstChild();

    // 返回当前节点的最大弟弟
    public TreeLinkedList getNextSibling();

    // 返回当前节点后代元素的数目，即以当前节点为根的子树的规模
    public int getSize();

    // 返回当前节点的高度
    public int getHeight();

    // 返回当前节点的深度
    public int getDepth();

}

基于链表实现树结构

package dsa.Tree;

/*
 * 基于链表实现树结构
 */
public class TreeLinkedList implements Tree {
    private Object element;// 树根节点
    private TreeLinkedList parent, firstChild, nextSibling;// 父亲、长子及最大的弟弟
            // （单节点树）构造方法

    public TreeLinkedList() {
        this(null, null, null, null);
    }

    // 构造方法
    public TreeLinkedList(Object e, TreeLinkedList p, TreeLinkedList c,
            TreeLinkedList s) {
        element = e;
        parent = p;
        firstChild = c;
        nextSibling = s;
    }

    /*---------- Tree接口中各方法的实现 ----------*/
    // 返回当前节点中存放的对象
    public Object getElem() {
        return element;
    }

    // 将对象obj存入当前节点，并返回此前的内容
    public Object setElem(Object obj) {
        Object bak = element;
        element = obj;
        return bak;
    }

    // 返回当前节点的父节点；对于根节点，返回null
    public TreeLinkedList getParent() {
        return parent;
    }

    // 返回当前节点的长子；若没有孩子，则返回null
    public TreeLinkedList getFirstChild() {
        return firstChild;
    }

    // 返回当前节点的最大弟弟；若没有弟弟，则返回null
    public TreeLinkedList getNextSibling() {
        return nextSibling;
    }

    // 返回当前节点后代元素的数目，即以当前节点为根的子树的规模
    public int getSize() {
        int size = 1;// 当前节点也是自己的后代
        TreeLinkedList subtree = firstChild;// 从长子开始
        while (null != subtree) {// 依次
            size += subtree.getSize();// 累加
            subtree = subtree.getNextSibling();// 所有孩子的后代数目
        }
        return size;// 即可得到当前节点的后代总数
    }

    // 返回当前节点的高度
    public int getHeight() {
        int height = -1;
        TreeLinkedList subtree = firstChild;// 从长子开始
        while (null != subtree) {// 依次
            height = Math.max(height, subtree.getHeight());// 在所有孩子中取最大高度
            subtree = subtree.getNextSibling();
        }
        return height + 1;// 即可得到当前节点的高度
    }

    // 返回当前节点的深度
    public int getDepth() {
        int depth = 0;
        TreeLinkedList p = parent;// 从父亲开始
        while (null != p) {// 依次
            depth++;
            p = p.getParent();// 访问各个真祖先
        }
        return depth;// 真祖先的数目，即为当前节点的深度
    }
}

三，树的遍历

所谓树的遍历（Traversal），就是按照某种次序访问树中的节点，且每个节点恰好访问一次。也就是说，按照被访问的次序，可以得到由树中所有节点排成的一个序列。

深度优先遍历（Depth-first Traversal）：
前序遍历、中序遍历、后序遍历都属于深度优先遍历

1，前序遍历（Preoder traversal）——中>左>右

PreorderTraversal.PNG

2，中序遍历（Inorder traversal）——左>中>右

中中序遍历只有对二叉树才有意义

3，后序遍历（Postorder traversal）——左>右>中

PostorderTraversal.PNG

广度优先遍历（Breadth-first traversal）
层次遍历属于广度优先遍历

1，层次遍历（Traversal by level）

LevelorderTraversal.PNG