编辑距离问题

  什么是两个字符串的编辑距离（edit distance）？给定字符串s1和s2，以及在s1上的如下操作：

• 插入（Insert）一个字符
• 移除（Remove）一个字符
• 替换（Replace）一个字符

试问最小需要多少次这样的操作才能使得s1转换为s2？
  比如，单词“cat”和“hat”，这样的操作最少需要一次，只需要把“cat”中的“c”替换为“h”即可。单词“recall”和“call”，这样的操作最少需要两次，只需要把“recall”中的“r”和“e”去掉即可。单词“Sunday”和“Saturday”，这样的操作最少需要3次，在“Sunday”的“S”和“u”中插入“a”和“t”，再把“n”替换成“r”即可。
  那么，是否存在一种高效的算法，能够快速、准确地计算出两个字符串的编辑距离呢？

动态规划算法

  我们使用动态规划算法（Dynamic Programming）来计算出两个字符串的编辑距离。
  我们从两个字符串s1和s2的最末端向前遍历来考虑。假设s1的长度为m，s2的长度为n，算法如下：

1. 如果两个字符串的最后一个字符一样，那么，我们就可以递归地计算长度为m-1和n-1的两个字符串的情形；
2. 如果两个字符串的最后一个字符不一样，那么，进入以下三种情形：
   • 插入： 递归地计算长度为m和n-1的两个字符串的情形，这是因为在s1中的末端插入了一个s2的最后一个字符，这样s1和s2的末端字符一样，就是1中情形；
   • 删除： 递归地计算长度为m-1和n的两个字符串的情形，这是在s1中的末端删除了一个字符；
   • 替换： 递归地计算长度为m-1和n-1的两个字符串的情形，这是因为把s1中末端字符替换成了s2的最后一个字符，这样s1和s2的末端字符一样，就是1中情形；

  这样，我们就有了子结构问题。对于动态规划算法，我们还需要一个初始化的过程，然后中间维护一张二维表即可。初始化的过程如下: 如果m为0，则至少需要操作n次，即在s1中逐个添加s2的字符，一共是n次；如果n为0，则至少需要操作m次，即把s1的字符逐个删除即可，一共是m次。

Python实现

  利用DP算法解决两个字符串的编辑距离的Python代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
# using Dynamic Programming to solve edit distance problem


# s1, s2 are two strings
def editDistDP(s1, s2):

   m, n = len(s1), len(s2)
   # Create a table to store results of subproblems
   dp = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]

   # using DP in bottom-up manner
   for i in range(m + 1):
       for j in range(n + 1):

           # If first string is empty, only option is to
           # isnert all characters of second string, thus the
           # min opration is j
           if i == 0:
               dp[i][j] = j

           # If second string is empty, only option is to
           # remove all characters of second string, thus the
           # min opration is i
           elif j == 0:
               dp[i][j] = i

           # If last characters are same, ignore last character
           # and recursive for remaining string
           elif s1[i-1] == s2[j-1]:
               dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

           # If last character are different, consider all
           # possibilities and find minimum of inserting, removing, replacing
           else:
               dp[i][j] = 1 + min(dp[i][j-1],  # Insert
                                  dp[i-1][j],  # Remove
                                  dp[i-1][j-1])  # Replace

   return dp[m][n]


# Driver program
s1 = "sunday"
s2 = "saturday"
edit_distance = editDistDP(s1, s2)
print("The Edit Distance of '%s' and '%s' is %d."%(s1, s2, edit_distance))

输出结果如下：

The Edit Distance of 'sunday' and 'saturday' is 3.

Java实现

  利用DP算法解决两个字符串的编辑距离的Java代码如下：

package DP_example;


// 计算两个字符串的编辑距离(Edit Distance)
public class Edit_Distance {

   // 主函数
   public static void main(String[] args) {
       String str1 = "cat";//"Sunday";
       String str2 = "hat";//"Saturday";
       int edit_dist = edit_distance(str1, str2);
       System.out.println(String.format("The edit distance of '%s' and '%s' is %d.",
               str1, str2, edit_dist));
   }

   /*
   函数edit_distanc: 计算两个字符串的编辑距离(Edit Distance)
   传入参数:  两个字符串str1和str2
   返回: 编辑距离
    */
   public static int edit_distance(String str1, String str2){

       // 字符串的长度
       int m = str1.length();
       int n = str2.length();

       // 初始化表格，用于维护子问题的解
       int[][] dp = new int[m+1][n+1];
       for(int i=0; i <= m; i++)
           for(int j=0; j <= n; j++)
               dp[i][j] = 0;

       // using DP in bottom-up manner
       for(int i=0; i <= m; i++){
           for(int j=0; j <= n; j++) {
               /* If first string is empty, only option is to
                * isnert all characters of second string, thus the
                * min opration is j
                */
               if(i == 0) { dp[i][j] = j;}

               /* If second string is empty, only option is to
                * remove all characters of second string, thus the
                * min opration is i
                */
               else if(j == 0){dp[i][j] = i;}

               /* If last characters are same, ignore last character
                * and recursive for remaining string
                */
               else if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)){
                   dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
               }

               /*If last character are different, consider all
                *possibilities and find minimum of inserting, removing, replacing
                */
               else{
                   /*
                    * dp[i][j-1]: Insert
                    * dp[i-1][j]: Remove
                    * dp[i-1][j-1]: Replace
                    */
                   dp[i][j] = 1 + min(min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]);
               }
           }
       }

       return dp[m][n];
   }

   public static int min(int i, int j){
       return (i <= j) ? i : j;
   }

}

输出结果如下：

The edit distance of 'cat' and 'hat' is 1.

其它实现方式

  以上，我们用Python和Java以及动态规划算法自己实现了编辑距离的计算。当然，我们也可以调用第三方模块的方法，比如NTLK中的edit_distance()函数，示例代码如下：

# 利用NLTK中的edit_distance计算两个字符串的Edit Distance

from nltk.metrics import edit_distance

s1 = "recall"
s2 = "call"
t = edit_distance(s1, s2)
print("The Edit Distance of '%s' and '%s' is %d." % (s1, s2, t))

输出结果如下：

The Edit Distance of 'recall' and 'call' is 2.

总结

  在本文中，我们对于两个字符串的编辑距离的计算，只采用了插入、删除、替换这三种操作，在实际中，可能还会有更多的操作，比如旋转等。当然，这并不是重点，重点是我们需要了解解决这类问题的算法，即动态规划算法。在后续的文章中，笔者会介绍编辑距离在文本处理中的应用。
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