分析

loop-invariant

• A technique to prove that an algorithm is correct. Identify a loop-invariant.

• Initialization: It is true prior to the first iteration of a loop.
• 初始化：循环的第一次迭代之前，为真
• Maintenance: If it is true before an iteration of the loop, it remains true before the next iteration.
• 保持：如果循坏的某次迭代之前 为真，那么下次迭代之前它仍为真
• Termination: when the loop terminates, the invariant givesus a useful property that shows that the algorithm is correct.
• 终止：在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法的正确性。

​

RAM

• We shall assume a generic one-processor, random-access machine (RAM) model of computation.

  我们将假设一个通用的单处理器随机存取机（RAM）计算模型

-- Instructions are executed one after another, with no concurrent operations.
-- Each time, an instruction of a program is executed as an atom operation. An instruction includes arithmetic operations, logical operations, data movement and control operations.
-- Each such instruction takes a constant amount of time. 
-- RAM capacity is large enough.

- 指令一个接一个地执行，没有并行操作。
- 每次，程序指令都作为原子操作执行。 一条指令包括算术运算，逻辑运算，数据移动和控制操作。
- 每个这样的指令都需要一定的时间。 
- RAM容量足够大。

• Under RAM model: count fundamental operations

  在RAM模式下：统计基本操作

• RAM 计算T(n)

T(n) 时间复杂度计算(练题)

顺序 — 串行

选择 — if 、switch-case

循环 — 插入排序

递归 — 归并排序

递归树 Recursion Tree

• 此为一般方法 ，了解画法

The Construction of a Recursion Tree0.png

The Construction of a Recursion Tree.png

Mathematical Induction

主方法 Master method (递归树的推广)

• It provides a “cookbook” method for solving recurrences of the form:
T(n) = a T(n/b) + f(n)
Where a ≥ 1 and b > 1 are constants and f(n) is an asymptotically positive function.

Three common cases.png

CASE 1: The weight increases geometrically from the root to the leaves. The leaves hold a constant fraction of the total weight.从根部到叶片的重量几何增加。 叶子的总重量不变
CASE 2: (k = 0) The weight is approximately the same on each of the logbn levels.
        （k = 0）每个logbn级别的权重大致相同
CASE 3: The weight decreases geometrically from the root to the leaves. The root holds a constant fraction of the total weight.重量从根部到叶片的几何尺寸减小。 根具有总重量的不变部分。

Master theorem – examples.png

Asymptotic Growth 渐近增长

O-notation

• O(g(n)) = {f(n): There exist positive constants c and n0 suchthat 0≤f(n) ≤cg(n) for all n≥n0}

–O(.) is used to asymptotically upper bound a function. 用于渐近地定义函数的上界
–O(.) is used to bound worst-case running time. 用于限制最坏情况下的运行时间

O-notation.png

• Note:
--When we say “the running time is O(n2)” we mean that the worst-case running time is O(n2) – the best case might be better.
--Use of O-notation often makes it much easier to analyze algorithms; we can easily prove the O(n2) insertion-sort time bound.
--We often abuse the notation a little:
>> We often write f(n) = O(g(n)) instead of f(n) ∈O(g(n)) 
>> We often use O(n) in equations: e.g. 2n2 + 3n + 1 = 2n2 + O(n) (meaning that 2n2 + 3n + 1=2n2 + f(n) where f(n) is some function in O(n))
>>We use O(1) to denote constant time.

Ω-notation

• Ω(g(n)) = {f(n): There exist positive constants c and n0 suchthat 0 ≤ cg(n) ≤f(n) for all n≥n0}

–We use Ω-notation to give a lower bound on a function. 我们使用Ω-符号来给函数下限

Ω-notation.png

• Note:
--when we say “the running time is Ω(n2)” we mean that the best-case running time is Ω(n2) – the worst case might be worse.

--Insertion-sort:
>> Best case: Ω(n) – when the input array is already sorted. 
>> Worst case: O(n2)– when the input array is reverse sorted.
>> We can also say that the worst case running time is Ω(n2)

Θ-notation

• Θ(g(n)) = {f(n): There exist positive constants c1, c2 and n0 such that 0 ≤ c1g(n) ≤f(n) ≤c2g(n) for all n≥n0} 相当于 “扔掉低阶项并忽略最高阶项前的系数”

–We use Θ-notation to give a tight bound on a function. 紧致界
— f(n) =Θ(g(n)) if and only if f(n) = O(g(n)) and f(n) = Ω(g(n))

Θ-notation.png

​

O/Θ/Ω notations Note

--We often think of f(n) = O(g(n)) as corresponding to f(n) ≤ g(n). 上界
--Similarly, f(n) = Θ(g(n)) corresponds to f(n) = g(n)  紧致界
--Similarly, f(n) = Ω(g(n)) corresponds to f(n) ≥ g(n)  下界

Question: 证明 O(n^2)

设计

基于比较的排序算法

基于比较的排序算法 这类排序包括插入，归并，堆，快速的等排序，共同点是都需要对数据进行比较，因此，时间复杂度不能突破O(NlogN)

假设决策树高度为h，叶子节点个数最多为2^h,要求2^h>=N!,所以h>=log(N!),根据Stirling公式，log(N!)~O(Nlog(N))，所以，h>=O(Nlog(N))

各种排序算法动画演示过程

Recap and overview

快排有最坏情况；插排、冒泡有最好情况；堆排、归并时间复杂度各情况一致

稳定性：插排、冒泡、归并、基数 不稳定：快排、堆排

排序算法比较.png

-- Insertion sort running time of Θ(n2); sorts in place "原址排序"
-- Merge sort running time of Θ(n lg n); needs auxiliary storage Θ(n).
-- Heapsort running time of Θ(n lg n); sort in place. 
-- Quicksort running time of Θ(n lg n) on average; most practical (and hence widely-used) sorting algorithm. 
-- Sorting in linear time.

插入排序 Insertion sort

Insertion Sort.png

归并排序 Merge Sort

Action of Merge Sort.png
Merge-Sort (A, p, r).png
Merge (A, p, q, r).png

堆排序 Heap Sort

* 堆 是一种完全二叉树，不一定是满二叉树

Action of BUILD-MAX-HEAP.png
MAX-HEAPIFY.png
BUILD-MAX-HEAP.png

An Example for HEAPSORT.png

HEAPSORT.png

Priority Queues

• INSERT(S,x): 把元素插入集合S中. 等价于S = S ∪ {x}
• MAXIMUM(S): 返回S中具有最大键值的元素
• EXTRACT-MAX(S): 去掉并返回S中的具有最大键值的元素
• INCREASE-KEY(S,x,k): 将元素x的关键字值增加到k,假设k不小于x的原关键字值

快速排序 Quick Sort

归并排序 谨遵 “分” “治” “合并” 步骤
快速排序 在 “分” 的时候就完成了 “合并” 过程；“合并”时 无操作

pivot x.png
Divide and Conquer.png
Partitioning subroutine.png
Example of Partitioning.png
最坏情况下的快速排序示例.png
最好情况下的快速排序示例.png

线性排序(适用场合、前提、算法复杂度)

非基于比较的排序 对输入数据有额外限制之后，可以使用一些时间复杂度更小的算法，如计数排序，桶排序，基数排序。

计数排序(Counting Sort)

计数排序的理解与实现

计数排序.jpeg

桶排序(Bucket Sort)

桶排序

桶排序.png

基数排序(Radix sort)

基数排序

基数排序.png

策略

分治法

Divide and Conquer algorithms which are analyzable by recurrences.

• 归并排序、快速排序
• 分、治—递归、合并

动态规划 Dynamic Programming

Optimization Problems(含公式)

• A design technique, like divide-and-conquer.
• Works bottom-up rather than top-down.
• Useful for optimization problems.

• Four-step method:
1. Characterize the structure of the optimal solution.  刻画一个最优解的结构特征
2. Recursively define the value of the optimal solution. 递归地定义最优解的值
3. Compute the value of the solution in a bottom-up fashion. 自底而上计算最优解的值
4. Construct the optimal solution using the computed information. 利用计算出的信息构造最优解

Assembly-Line Scheduling

Assembly Lines.png
Assembly-Line Scheduling code.png

Matrix-chain multiplication

Matrix-chain multiplication.png
Matrix-Chain Multiplication DP Algo.png
ExampleDP forCMM.png
Construct an Optimal Solution.png

Longest Common Subsequence

LCS.png
Computing the length of an LCS.png
Constructing an LCS.png
LCS MaxSum.png

MaxSum

$$
b[j] = max(b[j-1]+a[j],a[j]), if 1≤j ≤ n
$$

int DPMaxSum(int n,int a,int &besti,int &bestj){        
    int sum = a[0],b[0] = a[0];
    for(int i = 1 ; i<= n; ++i){
        if(b[i-1] > 0 )
            b[i] = b[i-1] + a[i];
        else b[i] = a[i];
        if(b[i]>sum) sum = b[i];
    }
    return sum;
}

int DPMaxSum(int n,int a,int &besti,int &bestj){        
    int sum = 0,b = 0;
    for(int i = 1 ; i<= n; ++i){
        if(b > 0)
            b += a[i];
        else b = a[i];
        if(b>sum) sum = b;
    }
    return sum;
}

0-1 Knapsack problem

• 加 或 不加 ， 比较判断

  0-1 Knapsack problem.png

  $$
  \begin{eqnarray}f(x)=
  \begin{cases}
  0 &if i = 0 or w = 0\cr
  c[i-1,w] &w[i]>w \cr
  max(c[i-1,w-w[i]] + vi, c[i-1,j]) &i>0andw>=w[i]\end{cases}
  \end{eqnarray}
  $$

KNAPSACK-DP(v,w,n,W)
    for w ← 0 to W  // if i = 0 or w = 0
        do c[0,w] = 0
    for i ← 1 to n
        do c[i,0] = 0   
            for w ← 1 to W 
                do if w[i] ≤ w  // i>0 and w[i] ≤ w
                   then if v[i] + c[i-1,w-w[i]] > c[i-1,w]
                           then c[i-1,w] = v[i] + c[i-1,w-w[i]]
                                else c[i-1,w] = c[i-1,w]
                   else c[i-1,w] = c[i-1,w]  // w[i] > w 

贪心算法

Activity Selection

Activity Selection.png

Fractional Knapsack

• 贪心算法并非最优解（w[] 已被排序）

  Greedy for Fractional Knapsack.png

Huffman Coding

Example of Huffman codes.png
Algorithm of Huffman Coding.png

图论

单源

Dijkstra “贪心”

• 集“点” — 松弛 — 集“点” — 松弛 …（直至集完所有点）

• IDEA: Greedy
1. Maintain a set S of vertices whose shortest-path distances from s are known
2. At each step add to S the vertex v∈V-S whose distance estimate from s is minimal.
3. Update the distance estimates of vertices adjacent to v.

Example of Dijkstra’s algorithm.png
Dijkstra’s algorithm.png

Bellman-Ford “可动态规划实现”

• 穷举式“松弛”

Bellman-Ford algorithm: Finds all shortest-path lengths from a source s∈V to v∈V or determines that negative- weight cycle exists. 

Bellman-Ford.png
Example of Bellman-Ford.png
Bellman-Ford algorithm.png

bool Bellman_Ford()  
{  
    for(int i=1;i<=nodenum;i++){  //初始化  
        dis[i]=(i==original? 0:MAX);  
    } 
    
    for(int i=1;i<=nodenum-1;i++)  { // |V|-1次松弛
        for(int j=1;j<=edgenum;j++)  { 
            if(dis[edge[j].v]>dis[edge[j].u]+edge[j].cost){   //松弛 
                dis[edge[j].v]=dis[edge[j].u]+edge[j].cost;  
                pre[edge[j].v]=edge[j].u;  
            }  
        }
    } 
    bool flag=1; //判断是否含有负权回路  
    for(int i=1;i<=edgenum;i++)  {
        if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u]+edge[i].cost)  {  
            flag=0;  
            break;  
        }  
    }
       
    return flag;  
}  

全源 All-pairs shortest paths

Floyd-Warshall “DP 动态规划”

• 经过节点k的路径长度 与 直接到达的路径长度 相比较

Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决 任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
• Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度 为O(N2)。
• 同样是动态规划算法，但效率更高!

Floyd-Warshall recurrence.png
Floyd-Warshall.png
Pseudocode for Floyd-Warshall.png

Johnson’s “权值重定向+ dijkstra”

• Johson算法是目前最高效的在无负环可带负权重的网络中 求所有点对最短路径的算法.
• Johson算法是Bellman-Ford算法, Reweighting(重赋权重) 和Dijkstra算法的大综合.

Johnson算法思路
• Johnson算法适用于求All Pairs Shortest Path. Johnson算法应用了重标号技术。
1. 先进行一次Bellman-Ford算法
    - 给定图 G = (V, E)，增加一个新的顶点 s，使s指向图 G 中的所有顶点都建立连接，设新的图为 G’；
    - 对图 G’ 中顶点s使用 Bellman-Ford算法计算单源最短路径，得到结果 h[] = {h[0], h[1], .. h[V-1]}；

2. 对原图进行重赋权，w'(i,j)=h[i]-h[j]+w(i,j)
3. 移除新增的顶点 s，然后对每个点进行一次Dijkstra，
每次Dijkstra的复杂度为O(nlogn+m)，于是算法复杂度O(n^2logn+m)

- Given a function h: VR, reweight each edge (u,v) ∈E by wh(u,v)=w(u,v)+h(u)-h(v).
- 经过重赋权后，结点u,v 之间的 每条路径均相对 原图中路径长度变化了同样的值

Johnson.png
Johnson’ algorithm.png

Shortest paths (Summary)

 • 单源点最短路径
-- 无负边(非负权值)
    >> Dijkstra 算法: O(E+VlgV)，贪心法(这个问题可以找 到最优解)，可以用不同的数据结构实现，复杂度不一样
-- 一般情况(可以为带有负权值图)
    >> Bellman-Ford: O(VE)，未采用贪心法，还可以确定有向图中是否含有负权值回路。
-- 有向加权无环图(DAG) 
    >> 有向无环图的最短路径算法
• 每对结点间最短路径 
-- 无负边
>> 执行 |V| 次 Dijkstra 算法: O(VE+V2lgV) 
-- 一般情况
√ Run Bellman-Ford once for each vertex
√ d(m)ij = mink{d(m-1)ik+akj } 
√ floyd-washall Algorithm 
√ Johnson Algorithm

    
• 四个算法的复杂度:
• Dijkstra算法直接实现时间复杂度是O(n2),空间复杂度是 O(n)(保存距离和路径)，二叉堆实现时间复杂度变成 O((V+E)logV)，Fibonacci Heap可以将复杂度降到 O(E+VlogV);
• Bellman-Ford算法时间复杂度是O(V*E)，空间复杂度是 时间复杂度是O(kE);
• Floyd-Warshall算法时间复杂度是O(n3)，空间复杂度是 O(n2);
• Johnson算法时间复杂度是O( V * E * lgd(V) )，比Floyd- Warshall算法效率高。

回溯法Back-Tracking Algorithms(深度优先)

• 回溯法又称试探法。回溯法的基本做法是"深度优先搜索"，是一种组织得井井有条的、能避免不必要重复搜索的穷举式搜索算法。即从一条 路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
• 回溯算法使用剪枝(pruning)函数，剪去一些不可能到达最终状态(即答案状态)的节点，从而减少状态空间树节点的生成。搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
    • 常用剪枝函数：
        • 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；
        • 用限界函数剪去得不到最优解的子树

☆State Space Tree
• Problem State
– Each node in the tree identifies a problem state when solving the problem. 
• State Space
– All the paths from the root to each node
• State Space Tree
– Theabovetreeofthesolutionspace
• Solution States
– Those problem states to which the path from the root identifies a vector in the solution space (Satisfying explicit constraints).
• Answer States
– Those solution states to which the path from the root identifies an answer (Satisfying implicit constraints).

利用回溯法解题的具体步骤: 
(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。 
(2)构造状态空间树。
(3)构造约束函数(用于杀死节点)。
然后就要通过深度优先搜索思想完成回溯，完整过程如下:
(1)设置初始化的方案(给变量赋初值，读入已知数据等)。 
(2)变换方式去试探，若全部试完则转(7)。 
(3)判断此法是否成功(通过约束函数)，不成功则转(2)。 
(4)试探成功则前进一步再试探。 
(5)正确方案还未找到则转(2)。 
(6)已找到一种方案则记录并打印。 
(7)退回一步(回溯)，若未退到头则转(2)。 
(8)已退到头则结束或打印无解

(一)约束函数:约束函数是根据题意定出的。通过描述合法解的一般 特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余 部分。因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价 的。
(二)状态空间树:状态空间树是一个对所有解的图形描述。树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
(三)扩展节点、活结点、死结点
• 扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在深度优先搜索中，只允许有一个扩展节点。
• 活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束 函数要求的节点;
• 死结点反之。由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的(没有意义)。

非递归回溯框架.png
General Method of Back Tracking.png
递归回溯框架.png
Recursive Method of Back Tracking.png

8-Queen problem

State Space Tree.png
n-Queens.png
n-Queens PLACE.png

Subset-sum problem

0/1 Knapsack problem

BKNAP1.png
Knapsack0_1.png

分支限定法Branch and Bound(广度优先)

• 限界函数(Bound function)、代价函数(cost function)
• c(x) = f(x) + g(x) 每次选c(x)最小的结点向下扩展

15-Puzzle

15-Puzzle.png