最短路（基础未优化）

写在前面

写最短路我犹豫了很久，因为最短路它涵盖的内容很多（四个基础算法），而且在基础算法上还有许多不同的优化，甚至存边都有几种方式，就显得特别复杂

基本概念

最短路就是求在一个图中一个点到指定点的最短路程（其实光看名字就猜的出来）。

几个概念：

1.出发的点叫源点
2.一个点到另一个点的路程（也可以理解为连接这两个点的线段的长度）叫权
3.图分两种：有向图和无向图。有向图就像单行道，只能去不能回。而无向图就像双行道，可以去也可以回。

还有一些例如松弛操作这些的概念会在下面进行解释

基础算法

存边

对于一个图，我们需要把边存储下来。而存储有两种方式。

邻接矩阵

用一个二维数组来存储。假如用数组k来存储边，则

k[i][j]

表示有一条从i到j的边，权值为

k[i][j]

邻接表

思路是用3个数组，（这里假设为a,b,c)（可能有点难理解）
当

a[m]=I
b[m]=j
c[m]=n（其中m为常数）

就是表示从i到j有一条边，权值为n。
但是假如要排序的话，开三个数组很麻烦，所以我建议用结构体。而结构体的排序方法我在讲最小生成树之kruskarl的时候讲过，这里就不再赘述。

前向星

前向星比邻接矩阵省空间。

链式前向星

这个是一种链式的存边方法。假如要细讲的话，可能又要讲一篇文章了，下文也不会使用这个。
感兴趣的话可以去看这篇博客

https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/16902023/

无向边

以上讲的都是存有向边的方式。存无向边其实区别不是很大。举个例子相信一下就懂了。假如你要存一条从i到j的无向边，你可以这么写

k[i][j]=n;
k[j][i]=n;

就是把终点和起点换一下位置，把终点当起点，把起点当终点。

Floyd

这个算法有一大特点，那就是写起来极其简单（核心代码只有5行），但是运行效率极低（o（n^3）），就让它显得很毒瘤，而且数据基本都会卡这种算法。
假如用二维数组

k[i][j]

来存储从i到j的最段路。
初始化：先把k数组全部赋一个很大很大的值（方便后面比较）
floyd算法如下

for(int k=1;k<=n;k++)//k枚举途经的节点
        for(int i=1;i<=n;i++)//i枚举起点
            for(int j=1;j<=n;j++)//j枚举终点
                if(d[i][j]!=inf&&d[i][k]!=inf)//假如i到k没有边，那么假设不成立，同理，假如i到j没有边，这个假设也不成立
                    d[i][j]=min(d[i][k]+d[k][j],d[i][j]);//拿现有的从i到j的最段路和i途经k再到j的总路程做比较。（这就是为什么要把d[i][j]的初始值赋为一个很大的数）

可以看一下上面的注释。。
floyd就是靠三重循环来枚举起点、途经的点和终点。然后做松弛操作。（松弛操作就是比大小那一步，有点像三角形的三边关系）拿现有的从i到j的最段路和i途经k再到j的总路程做比较。也算是一个dp。
这个算法没啥优化（也没啥可优化的）。可以求单源最段路（有向图中的最段路），也可以求无向图的最段路。不能对付负权

这里顺便引入两个新概念：负权&环
负权：一条权值为负的路（于现实生活中不存在）。
环：有些时候在有向图中会同时有从i到j和从j到i的两条路。他们就组成了一个环。
负权环就是一个很恐怖的东西了，你可以靠负权环在环里面不停的刷，这样你的最短路。。。就成了无限的更短路。。。

dijkstra狄杰斯特拉算法

这是一个很经典的单源最短路的算法。
这个算法的描述我觉得在一本叫算法图解的书中描述的比较详细，在这里就附上书的照片，觉得讲得很通俗易懂，应该理解没有什么问题。（多图预警）

1.jpg

2.jpg

3.jpg

4.jpg

5.jpg

总之就是重复那四步，就可以找出最优解。
算法效率比floyd不知道高到哪里去了。。
不能对付负权

bellman-ford贝尔曼福德算法

这是一个可以对付负权的算法
算法：

给你一个由v个点，e条边的图，和原点s

数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化

数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：

对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；

若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分

第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。

第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。

第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)

则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。

松弛操作之前讲过，再看一遍复习一下

a.png

松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现以下情况

b.png

则不会修改点B的值，因为3＋4>6。

spfa留着下次再讲（和优化一起，因为它比较难。。）。（留坑待补）
会了Bellman－Ford算法和狄杰斯特拉算法就已经可以做一些最段路的题了，可以练习一下。

重点理解：松弛操作（这玩意真的很重要，基本上最段路的精髓就是它了）

tks！
（参考文献：https://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2011/01/17/1937728.html ， 算法图解）