矩阵进阶 – 范数

作为快餐教程，我们尽可能多上代码，多介绍工具，少讲原理和公式。但是我也深知这样是无法讲清楚的，毕竟问题的复杂度摆在这里呢。与大家一起在Tensorflow探索一圈之后，我一定要写一个数学基础比较扎实的进一步教程。

范数（norm）初识

一般大学本科的《线性代数》教材中是不讲范数、广义逆这些知识的，需要学习《矩阵论》课程。但是很不幸，深度学习中会频繁用到。所以我们还是要有个基础的概念的。

不管是一个向量，还是一个矩阵，我们在机器学习中都经常需要有一个对于它们大小的度量。
对于向量的度量，我们的第一印象就用向量的长度就是了么。换成更有文化一点的名词就是欧基里得距离。这么高大上的距离，其实就是所有的值的平方的和的平方根。
我们可以用ord=’euclidean’的参数来调用tf.norm来求欧基里得范数。
例：

>>> a02 = tf.constant([1,2,3,4],dtype=tf.float32)
>>> sess.run(tf.norm(a02, ord='euclidean'))
5.477226

这没啥神秘的，我们用sqrt也照样算：

>>> np.sqrt(1*1+2*2+3*3+4*4)
5.477225575051661

下面我们将向量的范数推广到矩阵。其实还是换汤不换药，还是求平方和的平方根。

>>> a03 = tf.constant([[1,2],[3,4]],dtype=tf.float32)
>>> a03
<tf.Tensor 'Const_34:0' shape=(2, 2) dtype=float32>
>>> sess.run(a03)
array([[1., 2.],
       [3., 4.]], dtype=float32)

原来一排的向量，现在换成2×2的矩阵，我们继续求范数。现在有个高大上的名字叫做Frobenius范数。

>>> sess.run(tf.norm(a03,ord=2))
5.477226

嗯，一算下来还是跟[1,2,3,4]向量的范数值是一样的。

范数的定义

欧几里得范数和Frobenius范数只是范数的特例。更一般地，范数的定义如下：
$ \|x\|_p=(\displaystyle{\sum_i}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} $
其中，$p\in{\mathbb{R}}, p\ge1$

范数本质上是将向量映射到非负值的函数。当p=2时，$L^2$范数称为欧几里得范数。因为在机器学习中用得太多了，一般就将$\|x\|_2$简写成$\|x\|$。

更严格地说，范数是满足下列性质的任意函数：

1. $f(x) = 0 \Rightarrow x=0$
2. $f(x+y) \le f(x) + f(y)$ (这条被称为三角不等式, triangle inequality)
3. $\forall\alpha\in{\mathbb{R}}, f({\alpha}x) = |\alpha|f(x)$

范数的推广

除了$L^2$范数之外，在机器学习中还常用$L^1$范数，就是所有元素的绝对值的和。

有时候，我们只想计算向量或者矩阵中有多少个元素，这个元素个数也被称为$L^0$范数。但是，这种叫法是不科学的，因为不符合上面三条定义中的第三条。一般建议还是使用$L^1$范数。

我们来看下$L^1$范数的例子：

>>> sess.run(tf.norm(a03,ord=1))
10.0

另外，还有一个范数是$L^\infty$范数，也称为最大范数（max norm). 最大范数表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值。

我们可以用ord=np.inf的参数来求最大范数。

>>> sess.run(tf.norm(a03,ord=np.inf))
4.0

范数与赋范空间

最后，我们还是看一下数学上对于范数的严格定义。经过上面对于概念和代码实现的了解，现在这个定义已经不难理解了。

定义1 向量范数：设V是数域F上的线性空间，且对于V的任一个向量x，对应一个非负实数$\|x\|$，满足以下条件：

1. 正定性：$\|x\|\ge 0$, $\|x\|=0$当且仅当x=0
2. 齐次性：$\|\alpha{x}\|=|\alpha|\|x\|, a\in{F}$
3. 三角不等式：对任意$x,y\in{}V$，都有$\|x+y\|\le \|x\|+\|y\| $，则称$\|x\|$为向量x的范数，$[V;\|\cdot\|]$为赋范空间。

定义2 矩阵范数：设$A\in{}C^{m\times{n}}$，对每一个A，如果对应着一个实函数N(A)，记为$\|A\|$，它满足以下条件：

1. 非负性：$\|A\|\ge{0}$, 正定性：$A=O_{m\times{n}} \Leftrightarrow \|A\|=0$
2. 齐次性：$\|\alpha{A}\| = |\alpha|\|A\|, \alpha\in{}C$
3. 三角不等式: $\|A+B\|\le\|A\|\|B\|, \forall{}B\in{C^{m\times{n}}}$,则称N(A)=$\|A\|$为A的广义矩阵范数。进一步，若对$C^{m\times{n}},C^{n\times{l}},C^{m\times{l}}$上的同类广义矩阵范数$\|\cdot\|$，有下面的结论：
4. （矩阵乘法的）相容性：$\|AB\|\le{}\|A\|\|B\|, B\in{}C^{n\times{l}}$,则称$N(A)=\|A\|$为A的矩阵范数。