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一、部分概念的定义
维数：一个向量空间 V V V的基所含向量的个数叫做 V V V的维数
极大线性无关组：若向量组 { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\} { α1,α2,…,αn}的一个部分向量组 { α i 1 , α i 1 , … , α i r } \{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\} { αi1,αi1,…,αir}被称为一个极大线性无关组，则需满足以下条件：
- α i 1 , α i 1 , … , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r} αi1,αi1,…,αir线性无关
- 每一个 α j , j = 1 , … , n \alpha_j,j=1,\ldots,n αj,j=1,…,n，都可以由 α i 1 , α i 1 , … , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r} αi1,αi1,…,αir线性表示
向量组的秩：向量组 { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\} { α1,α2,…,αn}的一个极大线性无关组 { α i 1 , α i 1 , … , α i r } \{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\} { αi1,αi1,…,αir}中所含向量的个数 r r r称为向量组的秩，记作 r a n k ( α 1 , α 2 , … , α n ) = r rank(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=r rank(α1,α2,…,αn)=r或 r ( α 1 , α 2 , … , α n ) = r r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=r r(α1,α2,…,αn)=r
矩阵的秩：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为零。
矩阵的行秩：矩阵每一个行向量所构成的向量组的秩
矩阵的列秩：矩阵每一个列向量所构成的向量组的秩
二、概念间的联系
设矩阵 A A A是一个 m × n m\times n m×n的矩阵，令 { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\} { α1,α2,…,αm}是 A A A的行向量（这 m m m个向量所构成的一个向量空间称之为矩阵 A A A的行空间），再令 { α i 1 , α i 1 , … , α i r } \{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\} { αi1,αi1,…,αir}是这组行向量的极大线性无关组。
根据定义可知，矩阵 A A A的行空间中的每一个向量均可以由向量组 { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\} { α1,α2,…,αm}线性表示出来，而根据极大线性无关组的定义， { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\} { α1,α2,…,αm}亦可由 { α i 1 , α i 1 , … , α i r } \{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\} { αi1,αi1,…,αir}线性表示出来，故矩阵 A A A的行空间中的每一个向量均可以由 { α i 1 , α i 1 , … , α i r } \{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\} { αi1,αi1,…,αir}线性表示出来，同时 { α i 1 , α i 1 , … , α i r } \{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\} { αi1,αi1,…,αir}是线性无关的，所以 { α i 1 , α i 1 , … , α i r } \{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\} { αi1,αi1,…,αir}就是矩阵 A A A的行空间中的一个基。根据维数的定义，可以知道此时矩阵 A A A的行空间的维数就是 r r r，再根据向量组秩的定义，此时向量组 { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\} { α1,α2,…,αm}的秩也是 r r r，而同时，矩阵 A A A的行秩就是矩阵 A A A的行向量组的秩，所以矩阵 A A A的行秩本质上就是和矩阵 A A A的行空间的维数是等价的。
与上面的定义类似，可以得出结论：矩阵 A A A的列秩本质上就是和矩阵 A A A的列空间的维数是等价的。所以在探求 “矩阵的秩=该矩阵的行秩=该矩阵的列秩” 这个问题上，可以换而言之，是在探求 “矩阵的秩=该矩阵的行空间的维数=该矩阵的列空间的维数” 这个问题，所以等式可以归并为 “矩阵 A A A的秩(r( A A A))= A A A的行秩(矩阵 A A A的行空间的维数)= A A A的列秩(矩阵 A A A的列空间的维数)”。
三、定理的推导与证明
首先看一个引理：设矩阵 A A A是一个 m × n m\times n m×n矩阵。
( i ) 如果 B = P A B=PA B=PA， P P P是一个 m m m 阶可逆矩阵，那么 B B B与 A A A有相同的行空间；
( ii ) 如果 C = A Q C=AQ C=AQ， Q Q Q是一个 n n n阶可逆矩阵，那么 C C C与 A A A有相同的列空间；
证：
定义 A = ( a i j ) m n , P = ( p i j ) m n , B = ( b i j ) m n , C = ( c i j ) m n , Q = ( q i j ) n n A=(a_{ij})_{mn},P=(p_{ij})_{mn},B=(b_{ij})_{mn},C=(c_{ij})_{mn},Q=(q_{ij})_{nn} A=(aij)mn,P=(pij)mn,B=(bij)mn,C=(cij)mn,Q=(qij)nn。
令 { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\} { α1,α2,…,αm}是 A A A的行向量， { β 1 , β 2 , … , β m } \{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m\} { β1,β2,…,βm}是 B B B的行向量。 B B B的第 i i i行等于 P P P的第 i i i行右乘以矩阵 A A A：
β i = ( b i 1 , b i 2 , … , b i n ) = ( p i 1 , p i 2 , … , p i m ) A = ( p i 1 , p i 2 , … , p i m ) ( α 1 α 2 ⋮ α m ) = p i 1 α 1 + p i 2 α 2 + ⋯ + p i m α m (1) \begin{aligned} \beta_i & =(b_{i1},b_{i2},\dots,b_{in})=(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{im})A \\ & =(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{im}) \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix} \\ &=p_{i1}\alpha_1 + p_{i2}\alpha_2 + \dots + p_{im}\alpha_m \end{aligned} \tag{1} βi=(bi1,bi2,…,bin)=(pi1,pi2,…,pim)A=(pi1,pi2,…,pim)⎝⎜⎜⎜⎛α1α2⋮αm⎠⎟⎟⎟⎞=pi1α1+pi2α2+⋯+pimαm(1)
根据公式(1)可以得知 B B B的每一个行向量都是 A A A的行向量的线性组合，但 P P P是可逆的，所以 A = P − 1 B A=P^{-1}B A=P−1B，因此 A A A的每一个行向量都是 B B B的行向量的线性组合。因此可以得知，向量组 { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\} { α1,α2,…,αm}和 { β 1 , β 2 , … , β m } \{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m\} { β1,β2,…,βm}等价，所以它们生成了同一个向量空间，故 B B B与 A A A有相同的行空间，也即(i)得证。
令 { γ 1 , γ 2 , … , γ n } \{\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n\} { γ1,γ2,…,γn}是 A A A的列向量， { η 1 , η 2 , … , η n } \{\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_n\} { η1,η2,…,ηn}是 C C C的列向量。 C C C的第 i i i列等于 A A A右乘以 Q Q Q的第 i i i列：
η i = ( c 1 i c 2 i ⋮ c m i ) = A ( q 1 i q 2 i ⋮ q n i ) = ( γ 1 , γ 2 , … , γ n ) ( q 1 i q 2 i ⋮ q n i ) = q 1 i γ 1 + q 2 i γ 2 + ⋯ + q n i γ n (2) \begin{aligned} \eta_i & = \begin{pmatrix} c_{1i} \\ c_{2i} \\ \vdots \\ c_{mi} \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} q_{1i} \\ q_{2i} \\ \vdots \\ q_{ni} \end{pmatrix} \\ & =(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n) \begin{pmatrix} q_{1i} \\ q_{2i} \\ \vdots \\ q_{ni} \end{pmatrix} \\ &=q_{1i}\gamma_1 + q_{2i}\gamma_2 + \dots + q_{ni}\gamma_n \end{aligned} \tag{2} ηi=⎝⎜⎜⎜⎛c1ic2i⋮cmi⎠⎟⎟⎟⎞=A⎝⎜⎜⎜⎛q1iq2i⋮qni⎠⎟⎟⎟⎞=(γ1,γ2,…,γn)⎝⎜⎜⎜⎛q1iq2i⋮qni⎠⎟⎟⎟⎞=q1iγ1+q2iγ2+⋯+qniγn(2)
根据公式(2)可以得知 C C C的每一个列向量都是 A A A的列向量的线性组合，但 Q Q Q是可逆的，所以 A = C Q − 1 A=CQ^{-1} A=CQ−1，因此 A A A的每一个列向量都是 C C C的列向量的线性组合。因此可以得知，向量组 { γ 1 , γ 2 , … , γ n } \{\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n\} { γ1,γ2,…,γn}和 { η 1 , η 2 , … , η n } \{\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_n\} { η1,η2,…,ηn}等价，所以它们生成了同一个向量空间，故 C C C与 A A A有相同的列空间，也即(ii)得证。故引理得证！
根据矩阵的初等变换性质，对于任意一个 m × n m\times n m×n矩阵 A A A，总存在 m m m阶可逆矩阵 P P P和 n n n阶可逆矩阵 Q Q Q，使得
P A Q = ( I r O O O ) (3) PAQ= \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} \tag{3} PAQ=(IrOOO)(3)
公式(3)中的 r r r等于 A A A的秩。两边各乘以 Q − 1 Q^{-1} Q−1得
P A = ( I r O O O ) Q − 1 (4) PA= \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}Q^{-1} \tag{4} PA=(IrOOO)Q−1(4)
假设 { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\} { α1,α2,…,αn}是 Q − 1 Q^{-1} Q−1的行向量，则根据矩阵乘法的规则，可得
P A = ( α 1 ⋮ α r 0 ⋮ 0 ) (5) PA= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \tag{5} PA=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛α1⋮αr0⋮0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞(5)
根据公式(5)可以得知 P A PA PA只保留了 Q − 1 Q^{-1} Q−1的前 r r r行，且由于 Q − 1 Q^{-1} Q−1可逆，所以它的行向量线性无关（若线性相关，对矩阵进行行初等变换必会出现至少一行的元素全为0，矩阵的行列式不可能非零），因为它的前 r r r行也线性无关。于是 P A PA PA的行空间的维数等于 r r r。由上面的引理可知 A A A的行空间的维数等于 r r r，也即 A A A的行秩等于 r r r。另一方面，将等式(3)左乘以 P − 1 P^{-1} P−1得
A Q = P − 1 ( I r O O O ) (6) AQ=P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} \tag{6} AQ=P−1(IrOOO)(6)
与上面的推导类似，可以得知 A Q AQ AQ的列空间的维数等于 r r r，从而 A A A的列空间的维数也等于 r r r，也即 A A A的列秩等于 r r r。这样就可以得出结论：矩阵 A A A的秩(r( A A A))= A A A的行秩(矩阵 A A A的行空间的维数)= A A A的列秩(矩阵 A A A的列空间的维数)。
若再结合向量组的秩的概念以及行秩就是矩阵的行向量组的秩这一本质，亦可得出矩阵 A A A的秩(r( A A A))=矩阵 A A A的行向量组的极大无关组所含向量的个数=矩阵 A A A的列向量组的极大无关组所含向量的个数。
