通过分析三阶行列式每项的符号与列标排列、逆序数和奇偶性的关系，推广得到n阶行列式的第一种定义（按行展开）。然后分析了几种特殊的行列式：下三角行列式、上三角行列式、对角型行列式以及对应三种“山寨版”的行列式，并讨论了这些特殊行列式的值和每个展开项的符号。最后给出了行列式的第二种定义（按列展开）和第三种定义（即不按行，也不按列展开），并分析了此种定义下行列式的值和每个展开项的符号。

1 三阶行列式回顾

在上一篇博客中提到三阶行列式和对应值如下所示：
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} ∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a12​a21​a33​−a11​a23​a32​

可以看到所有6项（3项正数和3项负数）中，行标的排列均为： 123 123 123，即行标取标准排列；而列标的排列分别为： 123 、 231 、 312 、 321 、 213 、 132 123、231、312、321、213、132 123、231、312、321、213、132，即列标取3级排列的所有可能（ 3 ! 3! 3!）。每项值的符号与对应列标排列逆序数的奇偶性的关系如下表所示：

从上表可以看出，行列式的值为：取不同行不同列取出3个元素相乘，符号由列标的奇偶性决定（奇排列对应负号，偶排列对应正号）。

2 n阶行列式

由3阶行列式可以直接推广到n阶行列式：
∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n \begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2{\cdots}j_n}(-1)^{N(j_1j_2{\cdots}j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}{\cdots}a_{nj_n} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∑j1​j2​⋯jn​​(−1)N(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​a2j2​​⋯anjn​​

第一种定义（按行展开）：从不同行不同列取n个元素相乘，行标取标准排列，列标取n级排列的所有可能，符号由列标的奇偶性决定，一共有 n ! n! n!项。

行列式一般使用大写字母 D D D来表示，上式可表示为： D = ∣ a i j ∣ D=|a_{ij}| D=∣aij​∣。特别的，一阶行列式 ∣ a 11 ∣ = a 11 |a_{11}|=a_{11} ∣a11​∣=a11​，例如： ∣ 8 ∣ = 8 |8|=8 ∣8∣=8， ∣ − 1 ∣ = − 1 |-1|=-1 ∣−1∣=−1。n阶行列式也有主对角线和次对角线。

举例1：
∣ 1 2 3 8 1 1 0 4 2 2 0 5 1 0 0 9 ∣ \begin{vmatrix} 1&2&3&8\\ 1&1&0&4\\ 2&2&0&5\\ 1&0&0&9\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣​1121​2120​3000​8459​∣∣∣∣∣∣∣∣​

列标取标准排列： 1234 1234 1234，行标共有 4 ! 4! 4!个，如 1234 、 1243 、 1324 、 1342…4321 1234、1243、1324、1342…4321 1234、1243、1324、1342...4321等，故上式等于： 1 × 1 × 0 × 9 − 1 × 1 × 5 × 0 − 1 × 0 × 2 × 9 + 1 × 0 × 5 × 0 + . . . + 8 × 0 × 2 × 1 1×1×0×9-1×1×5×0-1×0×2×9+1×0×5×0+…+8×0×2×1 1×1×0×9−1×1×5×0−1×0×2×9+1×0×5×0+...+8×0×2×1。

由于n阶行列式按照定义展开后项数非常多，一般不会采用这种方式计算，但对于包含 0 0 0元素较多的行列式，可采用按定义展开的方式进行计算。

举例2：
∣ 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 1 0 0 0 ∣ \begin{vmatrix} 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4\\ 1&0&0&0\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣​0001​2000​0300​0040​∣∣∣∣∣∣∣∣​

通过分析可以看出，上式中大部分展开项乘积都是0，只有列标为 2341 2341 2341的展开项乘积不为0，故上式等于： ( − 1 ) N ( 2341 ) 2 × 3 × 4 × 1 = − 24 (-1)^{N(2341)}2×3×4×1=-24 (−1)N(2341)2×3×4×1=−24。

3 特殊结构行列式

3.1 下三角行列式

∣ a 11 0 0 ⋯ 0 a 21 a 22 0 ⋯ 0 a 31 a 32 a 33 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix} {a_{11}}&0&0&{\cdots}&0\\ {a_{21}}&{a_{22}}&0&{\cdots}&0\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{a_{n3}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}{\cdots}a_{nn} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​⋮an1​​0a22​a32​⋮an2​​00a33​⋮an3​​⋯⋯⋯⋱⋯​000⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=a11​a22​⋯ann​

3.2 上三角行列式

∣ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n 0 a 22 a 23 ⋯ a 2 n 0 0 a 33 ⋯ a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ 0&{a_{22}}&{a_{23}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ 0&0&{a_{33}}&{\cdots}&{a_{3n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&0&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}{\cdots}a_{nn} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​00⋮0​a12​a22​0⋮0​a13​a23​a33​⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​a3n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=a11​a22​⋯ann​

3.3 对角型行列式

∣ a 11 0 0 ⋯ 0 0 a 22 0 ⋯ 0 0 0 a 33 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix} {a_{11}}&0&0&{\cdots}&0\\ 0&{a_{22}}&0&{\cdots}&0\\ 0&0&{a_{33}}&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&0&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}{\cdots}a_{nn} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​00⋮0​0a22​0⋮0​00a33​⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​000⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=a11​a22​⋯ann​

下三角行列式、上三角行列式和对角型行列式的值都等于主对角线元素相乘。

3.4 下三角行列式（山寨版）

∣ 0 0 ⋯ 0 a 1 n 0 0 ⋯ a 2 , n − 1 a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n − 1 , 2 ⋯ a n − 1 , n − 1 a n − 1 , n a n 1 a n 2 ⋯ a n , n − 1 a n n ∣ \begin{vmatrix} 0&0&{\cdots}&0&{a_{1n}}\\ 0&0&{\cdots}&{a_{2, n-1}}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&{a_{n-1, 2}}&{\cdots}&{a_{n-1, n-1}}&{a_{n-1, n}}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{n, n-1}}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​00⋮0an1​​00⋮an−1,2​an2​​⋯⋯⋮⋯⋯​0a2,n−1​⋱an−1,n−1​an,n−1​​a1n​a2n​⋮an−1,n​ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

= ( − 1 ) N [ n ( n − 1 ) . . . 321 ] a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n − 1 , 2 a n 1 =(-1)^{N[n(n-1)…321]}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1} =(−1)N[n(n−1)...321]a1n​a2,n−1​⋯an−1,2​an1​

= ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n − 1 , 2 a n 1 =(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1} =(−1)2n(n−1)​a1n​a2,n−1​⋯an−1,2​an1​

3.5 上三角行列式（山寨版）

∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 , n − 1 a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n − 1 , 1 a n − 1 , 2 ⋯ 0 0 a n 1 0 ⋯ 0 0 ∣ \begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1, n-1}}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2, n-1}}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n-1, 1}}&{a_{n-1, 2}}&{\cdots}&0&0\\ {a_{n1}}&0&{\cdots}&0&0\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an−1,1​an1​​a12​a22​⋮an−1,2​0​⋯⋯⋮⋯⋯​a1,n−1​a2,n−1​⋱00​a1n​0⋮00​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

= ( − 1 ) N [ n ( n − 1 ) . . . 321 ] a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n − 1 , 2 a n 1 =(-1)^{N[n(n-1)…321]}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1} =(−1)N[n(n−1)...321]a1n​a2,n−1​⋯an−1,2​an1​

= ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n − 1 , 2 a n 1 =(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1} =(−1)2n(n−1)​a1n​a2,n−1​⋯an−1,2​an1​

3.6 对角型行列式（山寨版）

∣ 0 0 ⋯ 0 a 1 n 0 0 ⋯ a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n − 1 , 2 ⋯ 0 0 a n 1 0 ⋯ 0 0 ∣ \begin{vmatrix} 0&0&{\cdots}&0&{a_{1n}}\\ 0&0&{\cdots}&{a_{2, n-1}}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&{a_{n-1, 2}}&{\cdots}&0&0\\ {a_{n1}}&0&{\cdots}&0&0\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​00⋮0an1​​00⋮an−1,2​0​⋯⋯⋮⋯⋯​0a2,n−1​⋱00​a1n​0⋮00​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

= ( − 1 ) N [ n ( n − 1 ) . . . 321 ] a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n − 1 , 2 a n 1 =(-1)^{N[n(n-1)…321]}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1} =(−1)N[n(n−1)...321]a1n​a2,n−1​⋯an−1,2​an1​

= ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n − 1 , 2 a n 1 =(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1} =(−1)2n(n−1)​a1n​a2,n−1​⋯an−1,2​an1​

下三角行列式（山寨版）、上三角行列式（山寨版）和对角型行列式（山寨版）的值都等于次对角线元素相乘，符号由 ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 (-1)^{\frac{n(n-1)}2} (−1)2n(n−1)​决定。

4 行列式的其他定义方式

由于行列式展开后的每一项是由不同行不同列元素相乘，而乘法具有交换律，例如三阶行列式的值也可以表示为：

a 11 a 22 a 33 + a 31 a 12 a 23 + a 21 a 32 a 13 − a 31 a 22 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 11 a 32 a 23 a_{11}a_{22}a_{33}+a_{31}a_{12}a_{23}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23} a11​a22​a33​+a31​a12​a23​+a21​a32​a13​−a31​a22​a13​−a21​a12​a33​−a11​a32​a23​。

可以看出：此时列标取标准排列，而行标取排列的所有可能。所以n阶行列式既然可以按行展开，当然也可以按列展开。

第二种定义（按列展开）：从不同行不同列取n个元素相乘，列标取标准排列，行标取n级排列的所有可能，符号由行标的奇偶性决定，一共有 n ! n! n!项。

按列展开后，行列式的值可以表示为： ∑ i 1 i 2 ⋯ i n ( − 1 ) N ( i 1 i 2 ⋯ i n ) a i 1 1 a i 2 2 ⋯ a i n n \sum_{i_1i_2{\cdots}i_n}(-1)^{N(i_1i_2{\cdots}i_n)}a_{i_11}a_{i_22}{\cdots}a_{i_nn} ∑i1​i2​⋯in​​(−1)N(i1​i2​⋯in​)ai1​1​ai2​2​⋯ain​n​

第三种定义（即不按行，也不按列）：从不同行不同列取n个元素相乘，行标和列标都取n级排列的所有可能，符号由行标和列标的奇偶性共同决定，一共有 n ! n! n!项。

行列式的值可以表示为： ∑ i 1 i 2 ⋯ i n , j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) N ( i 1 i 2 ⋯ i n ) + N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a i 1 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i n j n \sum_{i_1i_2{\cdots}i_n, j_1j_2{\cdots}j_n}(-1)^{N(i_1i_2{\cdots}i_n)+N(j_1j_2{\cdots}j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}{\cdots}a_{i_nj_n} ∑i1​i2​⋯in​,j1​j2​⋯jn​​(−1)N(i1​i2​⋯in​)+N(j1​j2​⋯jn​)ai1​j1​​ai2​j2​​⋯ain​jn​​

举例：
表达式： ( − 1 ) N ( i 21 m ) + N ( 1 k 32 ) a i 1 a 2 k a 12 a m 2 (-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{12}a_{m2} (−1)N(i21m)+N(1k32)ai1​a2k​a12​am2​ 是行列式展开后的其中一项，求参数 i , k , m i, k, m i,k,m的值和表达式的符号。

解：可以看出行列式的行标为： i 21 m i21m i21m，列标为： 1 k 32 1k32 1k32，很明显行标和列标都不是标准排列，所以该行列式是按第三种定义展开的。

通过观察列标 1 k 32 1k32 1k32可以得出 k = 4 k=4 k=4；而观察行标 i 21 m i21m i21m发现， i = 3 , m = 4 i=3, m=4 i=3,m=4或 i = 4 , m = 3 i=4, m=3 i=4,m=3。

当 k = 4 , i = 3 , m = 4 k=4, i=3, m=4 k=4,i=3,m=4时， N ( 3214 ) + N ( 1432 ) = 6 N(3214)+N(1432)=6 N(3214)+N(1432)=6，故表达式符号为正；

当 k = 4 , i = 4 , m = 3 k=4, i=4, m=3 k=4,i=4,m=3时， N ( 4213 ) + N ( 1432 ) = 7 N(4213)+N(1432)=7 N(4213)+N(1432)=7，故表达式符号为负。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.1 n阶行列式