算法原理

蚁群算法是模拟自然界中蚂蚁的群体行为。科学家发现，蚁群总能找到蚂蚁巢穴和食物源之间的最短距离。蚂蚁在行走过的路上会留下一种挥发性的激素，而蚂蚁趋向于走激素积累较多的路径。找到最短路径的蚂蚁会往返多趟，从而积累更多的激素，导致走这条路的蚂蚁越拉越多，最终所有的蚂蚁都会选择最短路径
在使用该算法时，首先生成一定数量的蚂蚁，让每只蚂蚁形成初始解，再从问题的初始状态出发，根据“激素”浓度来选择下一个要转移的路径，直至建立起一个解，并根据路径的好坏释放一定浓度的激素，之后再开始新的解（重新往返于蚂蚁巢穴和食物源之间）

TSP实例

step 1：
NC<–0 （NC为迭代步数，即重新往返于蚂蚁巢穴和食物源之间的次数）
将 m 个蚂蚁放置于 n 个顶点上
step 2：
将各蚂蚁的初始出发点置于当前解集中
对每个蚂蚁按照概率转移至下一顶点
并将该顶点置于当前解集
step 3：
计算各蚂蚁的目标函数值
记录当前最好解
step 4：
更新信息素强度
step 5：
NC<–NC + 1，迭代计算

MATLAB代码

%蚁群算法求解TSP问题的matlab程序
clear all
close all
clc

%初始化蚁群
m=31;%蚁群中蚂蚁的数量，当m接近或等于城市个数n时，本算法可以在最少的迭代次数内找到最优解
C=[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;3238 1229;4196 1004; 4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756;2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678; 3918 2179;4061 2370;3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2367; 3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975];%城市的坐标矩阵
Nc_max=200;%最大循环次数，即算法迭代的次数，亦即蚂蚁出动的拨数（每拨蚂蚁的数量当然都是m）
alpha=1;%蚂蚁在运动过程中所积累信息（即信息素）在蚂蚁选择路径时的相对重要程度，alpha过大时，算法迭代到一定代数后将出现停滞现象
beta=5;%启发式因子在蚂蚁选择路径时的相对重要程度
rho=0.5;%0<rho<1,表示路径上信息素的衰减系数（亦称挥发系数、蒸发系数），1-rho表示信息素的持久性系数
Q=100;%蚂蚁释放的信息素量，对本算法的性能影响不大

%变量初始化
n=size(C,1);%表示TSP问题的规模，亦即城市的数量
D=ones(n,n);%表示城市完全地图的赋权邻接矩阵，记录城市之间的距离
for i=1:n
    for j=1:n
        if i<j
            D(i,j)=sqrt((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2);
        end
    D(j,i)=D(i,j);
    end
end
eta=1./D;%启发式因子，这里设为城市之间距离的倒数
pheromone=ones(n,n);%信息素矩阵,这里假设任何两个城市之间路径上的初始信息素都为1
tabu_list=zeros(m,n);%禁忌表，记录蚂蚁已经走过的城市，蚂蚁在本次循环中不能再经过这些城市。当本次循环结束后，禁忌表被用来计算蚂蚁当前所建立的解决方案，即经过的路径和路径的长度
Nc=0;%循环次数计数器
routh_best=zeros(Nc_max,n);%各次循环的最短路径
length_best=ones(Nc_max,1);%各次循环最短路径的长度
length_average=ones(Nc_max,1);%各次循环所有路径的平均长度

while Nc<Nc_max
    %将m只蚂蚁放在n个城市上
    rand_position=[];
    for i=1:ceil(m/n)  %朝正无穷方向取整 蚂蚁数量/城市数量
        rand_position=[rand_position,randperm(n)];
    end
    tabu_list(:,1)=(rand_position(1:m));%将蚂蚁放在城市上之后的禁忌表，第i行表示第i只蚂蚁，第i行第一列元素表示第i只蚂蚁所在的初始城市
    %m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，在本次循环中完成各自的周游

    for j=2:n
        for i=1:m
            city_visited=tabu_list(i,1:(j-1));%已访问的城市
            city_remained=zeros(1,(n-j+1));%待访问的城市
            probability=city_remained;%待访问城市的访问概率
            cr=1;
            %for循环用于求待访问的城市。比如如果城市个数是5，而已访问的城市city_visited=[2 4],则经过此for循环后city_remanied=[1 3 5]
            for k=1:n
                if length(find(city_visited==k))==0
                    city_remained(cr)=k;
                    cr=cr+1;
                end
            end
            %for循环计算待访问城市的访问概率分布，此概率和两个参数有关，一是蚂蚁当前所在城市（即city_visited(end))和待访问城市（即city_remained（k))路径上的信息素，一是这两者之间的启发因子即距离的倒数 
            for k=1:length(city_remained)
                probability(k)=(pheromone(city_visited(end),city_remained(k)))^alpha*(eta(city_visited(end),city_remained(k)))^beta;
            end
            probability=probability/sum(probability);
            %按概率选取下一个要访问的城市
            pcum=cumsum(probability);%返回各列的累加值
            select=find(pcum>=rand);
            to_visit=city_remained(select(1));
            tabu_list(i,j)=to_visit;
        end
    end
    if Nc>0
        tabu_list(1,:)=routh_best(Nc,:);%将上一代的最优路径（最优解）保留下来，保证上一代中的最适应个体的信息不会丢失
    end
    %记录本次循环的最佳路线
    total_length=zeros(m,1);%m只蚂蚁在本次循环中分别所走过的路径长度
    for i=1:m
        r=tabu_list(i,:);%取出第i只蚂蚁在本次循环中所走的路径
        for j=1:(n-1)
            total_length(i)=total_length(i)+D(r(j),r(j+1));%第i只蚂蚁本次循环中从起点城市到终点城市所走过的路径长度
        end
        total_length(i)=total_length(i)+D(r(1),r(n));%最终得到第i只蚂蚁在本次循环中所走过的路径长度
    end
    length_best(Nc+1)=min(total_length);%把m只蚂蚁在本次循环中所走路径长度的最小值作为本次循环中最短路径的长度
    position=find(total_length==length_best(Nc+1));%找到最短路径的位置，即最短路径是第几只蚂蚁或哪几只蚂蚁走出来的
    routh_best(Nc+1,:)=tabu_list(position(1),:);%把第一个走出最短路径的蚂蚁在本次循环中所走的路径作为本次循环中的最优路径
    length_average(Nc+1)=mean(total_length);%计算本次循环中m只蚂蚁所走路径的平均长度
    Nc=Nc+1
    %更新信息素
    delta_pheromone=zeros(n,n);
    for i=1:m
        for j=1:(n-1)
            delta_pheromone(tabu_list(i,j),tabu_list(i,j+1))=delta_pheromone(tabu_list(i,j),tabu_list(i,j+1))+Q/total_length(i);%total_length(i)为第i只蚂蚁在本次循环中所走过的路径长度（蚁周系统区别于蚁密系统和蚁量系统的地方）
        end
        delta_pheromone(tabu_list(i,n),tabu_list(i,1))=delta_pheromone(tabu_list(i,n),tabu_list(i,1))+Q/total_length(i);%至此把第i只蚂蚁在本次循环中在所有路径上释放的信息素已经累加上去
    end%至此把m只蚂蚁在本次循环中在所有路径上释放的信息素已经累加上去
    pheromone=(1-rho).*pheromone+delta_pheromone;%本次循环后所有路径上的信息素
    %禁忌表清零，准备下一次循环，蚂蚁在下一次循环中又可以自由地进行选择
    tabu_list=zeros(m,n);
end

%输出结果，绘制图形
position=find(length_best==min(length_best));
shortest_path=routh_best(position(1),:)
shortest_length=length_best(position(1))
%绘制最短路径
figure(1)
set(gcf,'Name','Ant Colony Optimization——Figure of shortest_path','Color','r')
N=length(shortest_path);
scatter(C(:,1),C(:,2),50,'filled');
hold on
plot([C(shortest_path(1),1),C(shortest_path(N),1)],[C(shortest_path(1),2),C(shortest_path(N),2)])
set(gca,'Color','g')
hold on
for i=2:N
    plot([C(shortest_path(i-1),1),C(shortest_path(i),1)],[C(shortest_path(i-1),2),C(shortest_path(i),2)])
    hold on
end
%绘制每次循环最短路径长度和平均路径长度
figure(2)
set(gcf,'Name','Ant Colony Optimization——Figure of length_best and length_average','Color','r')
plot(length_best,'r')
set(gca,'Color','g')
hold on
plot(length_average,'k')