1.算法背景

关于基本的蚁群算法及TSP问题本文不做描述，可参考百度百科做简单了解：
蚁群算法
TSP问题

本程序主要实现了 蚁群算法及其应用[1] P26–2.3蚁周系统模型中所描述的算法，并依JAVA语言特性及问题规模做了小幅度修改。在该书的第二章还描述了另外两种基本的蚁群系统，蚁量系统及蚁密系统，因为普遍认为蚁周系统要优于另外两种系统，故本程序将实现蚁周系统。

2.数学模型

2.1.参数描述

1. 城市规模为n，即有n座城市，从0 ~ n – 1对其进行编号；若i，j为其中的任意两个城市的编号，则有 i，j >= 0 && i , j <= n – 1。
2. dij ：两城市i和j之间的距离；将任意两城市看作两个点，则此距离为二维平面上这两点间的直线距离；设定多个城市不可重叠在同一个点上，因此当i = j时， dij=0 ，但此时无意义；当i != j时， dij>0 。又规定两城市间的距离向量是对称的，即有 dij=dji 。
3. ηij ：由城市i转移到城市j的启发程度，即环境因素本身对蚂蚁选择判断的影响，这个值在蚁群系统的运行中不改变。在本算法中 ηij=1/dij ，即i，j两城市的距离越短对蚂蚁选择的吸引力越大。又因 dij=dji ，则同样也有 ηij=ηji 。
4. 时刻t，为计算机模拟的实际环境时间；该时刻是离散而非连续的；从0时刻起，最小离散单位为1，即时刻为0，1，2，3，4，5···通常在1个时刻以内会发生蚂蚁移动一步这类的原子事件。
5. bi(t) ：t时刻位于城市i的蚂蚁数目；有 m=∑n−1i=0bi(t) 。
6. τij(t) ：城市i，j之间t时刻时边上的信息素轨迹强度，初始t=0时刻时，设置一个初始常量 τij(t)=C ，其中 C∈N 。 τij(t)∈N ；当i=j时无实际意义；又因边具有对称的特性，故 τij(t)=τji(t)
7. Δτkij(t,t+Δt) ：在t时刻到 t+Δt 时刻这 Δt 的时间内，蚂蚁k在（i，j）城市间路段上产生的信息素量。同样， Δτkij(t,t+Δt)∈N 且 Δτkij(t,t+Δt)=Δτkji(t,t+Δt) 。
8. Δτij(t,t+Δt) ：在t时刻到 t+Δt 时刻这 Δt 的时间内，（i，j）城市间路段的信息素增量。有 Δτij(t,t+Δt)=∑m−1k=0Δτkij(t,t+Δt) 。同样， Δτij(t,t+Δt)∈N 且 Δτij(t,t+Δt)=Δτji(t,t+Δt) 。
9. τij(t+Δt)=ρ⋅τij(t)+Δτij(t,t+Δt) ，其中 ρ∈[0,1] 为 τij(t) 在刷新信息素时的保留百分比；若为0则全部挥发，若为1则全部保留。
10. 蚁群规模为m，即蚁群中有m只蚂蚁，从0 ~ m – 1对其进行编号；k为其中的任意1只蚂蚁的编号，则有 k >= 0 && k <= m – 1。
11. tabuk ：蚂蚁k的禁忌表；初始时为空。每当蚂蚁到达一个城市都将该城市放到禁忌表中。因为tSP问题特性规定了除初始城市外每个城市都仅访问1次，故禁忌表长度固定为城市规模n；当禁忌表填满后，禁忌表中的城市顺序组成的路径即为TSP问题的一个解。
12. Lk ：第k只蚂蚁在求得某解后所走过的路径长度；注意*该长度必须包括最后一个到访的城市到初始城市的距离，因为TSP问题要求回到初始城市*， Lk>0 。
13. Q ：蚂蚁在求得一个解后在其路径上播撒的信息素总量。这是一个常量值且 Q∈N+
14. 蚂蚁的运动速度与路径的实际长度无关；固定每个1个单位时间内可从某城市到达任意另一个城市。
15. Δτkij(t,t+Δt)=Q/Lk，如果蚂蚁k在某次循环中经过路径i，j
    Δτkij(t,t+Δt)=0，否则
    因为(i,j)与(j,i)是同一条道路，故只要蚂蚁经过了(i,j)则 Δτkij(t,t+Δt) 与 Δτkji(t,t+Δt) 都应该加上该蚂蚁释放的信息素，这样才能确保对称
16. allowedk ：蚂蚁k下一步允许到达的城市。即所有不在蚂蚁禁忌表 tabuk 中的其他城市。
17. Pkij(t)=ταij(t)ηβij∑s∈allowedkταis(t)ηβis，j∈allowedk
    Pkij(t)=0，otherwise
    Pkij(t) 表示若t时刻蚂蚁k位于城市i，则它到达城市j的概率； Pkij(t)∈[0,1] 且 Pkij(t)=Pkji(t) 。 α 和 β 是两个常量，分别控制信息素信息及环境因素信息对蚂蚁选择城市的影响程度
18. bestWay ：每轮找到的最优路径组成的数组；从当轮蚂蚁填满的禁忌表中筛选。标准为走过的长度 Lk 最短。
19. Ncmax ：常量，最大求解循环次数，当到达该次数后算法停止。 Ncmax∈N+ 。

2.2.算法流程

2.2.1.初始化

1. 初始化城市，及各常量参数；初始时刻为t=0

2.2.2.循环

【循环层1】共循环 Ncmax 轮，每轮循环用时(n-1)个单位时间，发生如下事件：

1. 本轮刚开始的时刻为t时刻，生成一个规模为m的蚁群，将m只蚂蚁随机放置到n个城市中，并将蚂蚁们的初始城市放入其禁忌表中。该操作不耗费时间。
2. 【循环层1-1】循环n-1次，该循环结束后每只蚂蚁的禁忌表都将被填满，每只蚂蚁都访问了所有城市1次且仅一次，时间流逝了n-1个单位时间,每次：
   1.时间t=t+1,表示每次循环时间都流逝了1个单位时间。
   2.【循环层1-1-1】循环m次，这m次循环是在一个单位时间内同时并行发生的，每只蚂蚁都做如下动作：
   蚂蚁依 Pkij(t) 到达一座新的城市，同时将新的城市加入自己的禁忌表。
3. 【循环层1-2】循环m次，遍历所有蚂蚁的禁忌表。
   得到每只蚂蚁的 Lk 。
   得到本轮的最优路径 bestWay
   将蚂蚁禁忌表中走过的路径播洒上信息素。 Δt=n−1
4. 将本轮的最优路径 bestWay 与全局的最优路径对比，若更优秀，则替换。
5. 消灭当前的蚁群（杀死所有蚂蚁），然后休整一个单位时间，t=t+1。

2.2.3.统计结果

输出最终的全局最优路径，即为本算法得出的解。

2.3.简单的例子

为了便于理解，设计一个简单的小栗子。假如共有n=3座城市，蚁群中有m=1只蚂蚁，共进行3轮实验，则3轮中该蚂蚁的移动路线可能为：

以第2轮实验为例，禁忌表中经过城市为2-1-0；则将更新(2,1)=(1,2);(1,0)=(0,1)路段的信息素强度。【因为路段是对称的，故(i,j)及(j,i)都应更新】

详细代码设计将在后续博文给出。

参考文献

[1] 李世勇等.蚁群算法及其应用.哈尔滨.哈尔滨工业大学出版社.2004