问题描述:
将一个正整数n表示成一系列正整数之和.
n=n1+n2+n3+…+nk (n1>=n2>=n3>=nk>=1, k>=1)
正整数n的一个这种表示就是正整数n的一个划分，正整数n不同的划分个数称为正整数n的划分数, 记作p(n)
例如：6 有如下11种划分则p(6)=11
6;
5+1;
4+2, 4+1+1;
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1;
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
在正整数n所有划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n, m).
我们可以建立如下递归关系:
(1) q(n, 1) = 1, n>=1
最大加数不大于1,则只有一种划分，n=1+1+1+…+1
(2) q(n, m) = q(n, n), m>=n
最大加数n1实际上不能大于n.因此q(1, m)=1
(3) q(n, n) = 1 + q(n, n-1)
正整数n的划分有n1=n的划分和n1<n-1的划分组成
(4) q(n, m) = q(n, m-1) + q(n-m, m), n>m>1
正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成.
于是计算q(n, m)的递归函数如下.显然p(n)=q(n,n)
int q(int n, int m)
{
if((n<1) || (m<1)) return 0;
if((n==1)|| (m==1)) return 1;
if(n<m) returnq(n, n);
if(n==m) return(q(n, m-1)+1);
if(n>m) return(q(n,m-1) + q(n-m, m));
}
为求n的所有划分,需要在上面求n的划分数的过程中将划分元素保存起来并输出.
下面给出完整的程序和程序的输出结果
//IntPartition.cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int q (int n, int m, int *out, int length);
void print(int *forout, int length);
int main()
{
const int max = 100;
const int a = 6;
int count = 0;
int length = 0;
int out[max] = {0};
count = q (a, a, out, length);
cout << “the partition number of interger ” << a << ” is:” << count << endl;
return 0;
}
int q (int n, int m, int *out, int length)
{
if(n<1||m<1)
return 0;
if(n==1||m==1)
{
if(n==1)
{
out[length] = n;
print(out, length+1);
}
else //m==1
{
for(int k=0;k<n;k++)
{
out[length++] = m;
}
print(out,length);
}
return 1;
}
if(n==m)
{
//one element
out[length] = m;
print(out,length+1);
int temp = q(n,m-1,out,length);
return 1 + temp;
}
if(n<m)
{
int temp = q(n,n,out,length);
return temp;
}
out[length] = m;
int temp1 = q(n-m,m,out,length+1);
int temp2 = q(n,m-1,out,length);
return temp1 + temp2;
}
void print(int *forout, int length)
{
for (int i=0; i<length-1; i++)
cout << forout[i] << “+”;
cout << forout[i];
cout << endl;
}
//result
6
5+1
4+2
4+1+1
3+3
3+2+1
3+1+1+1
2+2+2
2+2+1+1
2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1
the partition number of interger 6 is:11
