1.穷举法
穷举法就是将两个元素中较小的值进行遍历（从大往小去），只有有一个值能让两个元素取余为0，该值即为最大公约数。
java代码
int Gcd(int n,int m){
if(n<m){
int temp = n;
n=m;
m=temp;
}
for(int i=m;i>0;i–){
if(n%i==0&&m%i==0)
break;
}
return i;
}
穷举法的缺点：算法不稳定，假如是两个很大的素数，基本要遍历到天黑才能找到最大公约数1。
2.更相减损法（辗转相减法//我造的）
更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。
例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。
这个过程可以简单的写为：
（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.
例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。
解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。
此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。
这个过程可以简单地写为：
（260,104）=（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13.[3]
c语言代码
#include<stdio.h>
int Gcd(int n,int m){
if(n-m==m)return m;
if(n%2==0&&m%2==0){
return 2*Gcd(n/2,m/2);
}else if(m>n-m){
Gcd(m,n-m);
}else{
Gcd(n-m,m);
}
}
这种方法的缺点：当两个数相差很大的时候，计算次数太多，欧几里得算法将其进行了改进。
3.辗转相除法（欧几里得算法）
我对辗转相除的理解就是：实现除数和余数有最大的约数
比如：377%319=58；
只要该数能被319和58约，就整除了。
算法步骤：
将除数和余数变成被除数和除数，不断相除，直到能除尽，最后的除数就是最大的余数，A%B=C —> B%C=D—> C%D=E,when E==0; OVER
例如 gcd(377,319);
第一步：377%319=58；
第二步：319%58=29；
第三步：58%29=0；
所以最大公约数为29；
c语言代码(写着写着就像java了)
//递归
int Gcd(int n,int m){
if(n<0||m<0)exit(0);
if(m==0) return n;
else if(m>n){
return Gcd(m,n);
}
else{
return Gcd(m,n%m);
}
}
//while循环（java）
int Gcd(int n,int m){
if(m<n){
int temp=m;
m=n;
n=temp;
}
while(n%m!=0){
n=m;
m=n%m;
}
retun m;
}
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论是理论，还是从效率上都是很好的。
但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位， 对于这样的整数，计算两个数值就的模很简单的
对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不
过几个周期而已。但是对更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，
用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。
对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模
4.stein算法
Stein算法由J.Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。
和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
g_c_d( x,x ) = x ， 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
g_c_d( x,y ) =2g_c_d( x/2,y/2 )，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数最大公约数比如能被2整除。
来研究一下最大公约数的性质，我们发现有 g_c_d( k*x,k*y ) = k*g_c_d( x,y ) 这么一个非常好的性质（证明我就省去了）。说他好是因为他非常符合我们化小的思想。我们试取 k=2 ，则有 g_c_d( 2x,2y ) = 2 * g_c_d( x,y )。这使我们很快联想到将两个偶数化小的方法。那么一奇一个偶以及两个奇数的情况我们如何化小呢？
先来看看一奇一偶的情况： 设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = g_c_d( 2x,y ) 是奇数。根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。我们来证明一下：(2x)%a=0，设2x=n*a，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。又因为 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的约数。因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 g_c_d( 2x,y ) <= g_c_d( x,y )。因为g_c_d( x,y )明显是2x和y的公约数，又有g_c_d( x,y ) <= g_c_d( 2x,y )，所以 g_c_d( 2x,y ) = g_c_d( x,y )。至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。
再来看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，似乎x和y直接向小转化没有什么太好的办法，我们可以绕个道，把x和y向偶数靠拢去化小。不妨设x>y，我们注意到x+y和x-y是两个偶数，则有 g_c_d( x+y,x-y ) = 2 * g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那么 g_c_d( x,y ) 与 g_c_d( x+y,x-y ) 以及 g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？为了方便我设 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易发现 m+n=x ，m-n=y 。设 a = g_c_d( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公约数，有 g_c_d( m,n )<= g_c_d(x,y)。再设 b = g_c_d( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相同，有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，所以b是m和n的公约数，有 g_c_d( x,y ) <= g_c_d( m,n )。所以 g_c_d( x,y ) = g_c_d( m,n ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )。
我们来整理一下，对两个正整数 x>y ：
1.均为偶数 g_c_d( x,y ) =2g_c_d( x/2,y/2 )；
2.均为奇数 g_c_d( x,y ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
2.x奇y偶 g_c_d( x,y ) = g_c_d( x,y/2 )；
3.x偶y奇 g_c_d( x,y ) = g_c_d( x/2,y ) 或 g_c_d( x,y )=g_c_d( y,x/2 )；
现在我们已经有了递归式，还需要再找出一个退化情况。注意到 g_c_d( x,x ) = x ，我们就用这个。
代码
int Gcd(int n,int m){
if(n<m){
int temp = n;
n=m;
m=temp;
}
if(m=0)return n;
if(n%2==0&&m%2==0){
return 2*Gcd(n/2,m/2);
}
if(n%2==0&&m%2!=0){
return Gcd(n/2,m);
}
if(n%2!=0&&m%2==0){
return Gcd(n,m/2);
}
return Gcd((n+m)/2,(n-m)/2);
}
