Floyd-Warshall算法求任意两点间的最短路(图论算法)

2024年6月4日 92次阅读

算法思路简介

假设只使用顶点0~k和 i，j ，并且我们记顶点i到j的最短路径长为dp[ k + 1 ][ i ][ j ]，k = -1表示只使用i，j，所以dp[ 0 ][ i ][ j ] = cost[ i ][ j ].
只使用0~k时，有经过k和不经过k两种情况，所以dp[ k + 1 ][ i ][ j ] = min( dp[ k ][ i ][ j ] , dp[ k ][ i ][ k ] + dp[ k ][ k ][ j ] )

上面的cost数组表示边的权重
dp数组的初始值是边的权重（如果存在边）

当顶点i 和 j 之间的路径不存在时，dp[ k ][ i ][ j ] = INF

这便变成了一个典型的dp，所以这个三维数组就可以直接用一个二维的代替： dp[ i ][ j ] = min( dp[ i ][ j ], dp[ i ][ k ] + dp[ k ][ j ] )

实现：

int d[MAX_V][MAX_V];
int V;
void warshall_floyd()
{
    for(int k = 0; k < V; k++)
        for(int i = 0; i < V; i++)
            for(int j = 0; j < V; j++)
                d[i][j] = min( d[i][j], d[i][k]+d[k][j] );
}

代码解析

  • 为什么最外层循环是k
    • 是为了更新dp[ i ][ j ]

      假设把k的循环放在最内层
      那么dp[ i ][ j ]就只会更新 “ 一次 ”，打个比方：
      i = 1，j = 2时，dp[ i ][ j ]会被连续更新k次，然而此时还有很多地方都没有被计算，比如k = 10时，
      dp[ 1 ][ 2 ] = min( dp[ 1 ][ 2 ], dp[ 1 ][ 10] + dp[ 10 ][ 2 ] )
      看起来没啥问题，但是呢，这时 dp[ 1 ][ 10] 和 dp[ 10 ][ 2 ]的结果都还不知道，而当计算出dp[ 1 ][ 10] 和 dp[ 10 ][ 2 ]后，dp[ 1 ][ 2 ]却不再被更新，导致无法得到正确结果

  • 时间复杂度
    • 不用多说肯定是 O( V^3 )
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