动态规划--走台阶问题

2024年1月19日 360次阅读

问题描述
一个人上台阶，台阶有n级，他可以一次上1级，可以一次上2级，也可以一次上3级，问上这个n级的台阶一共有多少种上法。

问题分析
首先我们先归纳分析一下一些比较简单的情况：
如果台阶只有1级，那么他一次就可以上去，很显然，上法只有1种；
如果台阶有2级，那么他可以1-1，也可以直接上到2级，这时一共有2种上法；
如果台阶有3级，那么他可以1-1-1，可以1-2，可以2-1，也可以直接上到3，这样一共有4种上法；
如果台阶为4级，那么他可以1-1-1-1，可以1-1-2，可以1-2-1，可以2-1-1，可以1-3，可以3-1，也可以2-2，一共有7种上法；
………………
………………
………………
通过简单的分析，我们发现台阶数为4的时候，其上法等于1+2+4，也就是台阶数为1,2,3的上法的总和，依次类推。

一般情况下，我们把n级台阶的跳法写成n的函数f(n)。当n大于等于4时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，即若要跳到n级台阶等于从n-1级台阶再跳1级，或从n-2级台阶再跳2级，或者从n-3级台阶再跳3级。

            /          1                    n=1
          /
        /              2                    n=2
f(n)=
        \              4                    n=3
          \             \ f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)  n>=4

有了这个状态转移公式，并且满足动态规划的条件（最优子结构，无后效性等），就能用动态规划来求解。

JAVA代码实现：

public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int num = scanner.nextInt();

        int[] step = new int[num];
        step[0]=1;  
        step[1]=2;  
        step[2]=4; 

        if(num <= 3)
        {
            System.out.println("需要的步数："+ step[num-1]);
        }
        for(int i = 3; i < num; i++)
        {
            step[i]=step[i-1]+step[i-2]+step[i-3];
        }
        System.out.println("需要的步数："+ step[num-1]);
    }

http://blog.csdn.net/ydx115600497/article/details/53172815

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