动态规划及实例

2024年1月7日 158次阅读

01揹包问题：一个容量为C的揹包，n个物品，他们的重量分别是w[i],价值分别是v[i],怎样选择装入的物品使价值最大？

分析：面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。
所以声明一个 大小为  m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且揹包容量为  j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法。
（1）. j < w[i] 的情况，这时候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
（2）. j>=w[i] 的情况，这时揹包容量可以放下第 i 件物品，我们则考虑是否拿这件物品可以使价值最大化。
如果拿，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，揹包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）。

那么怎么知道价值最大呢？比较即可。即max(m[i-1][j]，m[i-1][j-w[i]]+v[i])。

这里不给出代码了，主要是利用它的思想去解决问题。请看下面的实例：

一、最小邮票数

问题描述： 有若干张邮票，要求从中选取最少的邮票张数凑成一个给定的总值。     如，有1分，3分，3分，3分，4分五张邮票，要求凑成10分，则使用3张邮票：3分、3分、4分即可。

分析：其实和揹包问题类似。我选择了第一张邮票的面值，后面还可以继续选么？可以的，所以从1-n做完，那么如果我第一次选择了第二张的面值，在去选择第一张的是不是和第一次选择1的面额再选择2一样，所以2-n往后继续做，以此类推循环就出来了。我选择了邮票后，把这个面值减去，就是我剩下的吧，但是我的余下的面值足够大，才可以选择剩下的面额的邮票吧？这其实和把东西装进揹包里一样吧。只是这里求最小邮票的个数，所以是min().具体的一些改变和说明我在代码中已经加了注释，这里就不过多解释了。

#include<iostream>
#define INF 0x11111111
#include<string.h>
using namespace std;
int dp[1010];
int min(int a, int b){
	return a < b ? a : b;
}
int main(){
	int m, n;
	while(cin >> m){
		cin >> n;
		int a[n];
		for(int i = 0; i < n; i ++){
			cin >> a[i];
		}
		memset(dp, INF, sizeof(dp));//sizeof()返回一个变量或者类型的大小， 单位是字节 
//void *memset(void *s,int c,size_t n) 总的作用：将已开辟内存空间 s 的首 n 个字节的值设为值 c。
		dp[0] = 0;
 		for(int i = 0; i < n; i ++){//可以选择从第一个开始往后，一组选完之后；从第二个数往后，进行新的一组选择.....
			for(int j = m; j >= a[i]; j --){//j >= a[i]要能装的下
				dp[j] = min(dp[j], dp[j - a[i]] + 1);
                //dp[i - a[i]]前j - 1个的质量,因为这里是计算个数 所以把这个装进去就需要加1.
			}
		}
		if(dp[m] >= 1000){
			printf("0\n");
		} 
		else{
			printf("%d\n", dp[m]);
		}
    }
	return 0;
}

二、最大序列和

问题描述：给出一个整数序列S，其中有N个数，定义其中一个非空连续子序列T中所有数的和为T的“序列和”。 对于S的所有非空连续子序列T，求最大的序列和。 变量条件：N为正整数，N≤1000000，结果序列和在范围（-2^63,2^63-1）以内。

分析：我们选择数往序列里面加，并且求这个序列和。利用动态方程dp[j] = max{dp[j -1] + a[i] ,a[i]}，什么意思呢？

当dp[j-1]+a[i]>a[i]时，即dp[j-1]>0。就是a[i]前一段的序列和目前看来是大于0的，根据最优原则，当然段长要继续加a[i]，使序列和最大。

反之，当dp[j-1]<0时，肯定不能加上含有a[i]的序列，（因为要是dp[j-1]加上之后，序列和减小了）,此时a[i]作为新序列的首元素，dp[j]=a[i]。

注意就是这里的数的值很大，大于int ，所以用long long定义。而且储存的数组等也要保持足够的空间。否则可能导致溢出，从而报段出错。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define MAX 10000001
using namespace std;
int main(){//动态规划 
    long long *a, *dp, n;
    a = (long long *) malloc( MAX * sizeof(long long)); 
    dp = (long long *)malloc( MAX * sizeof(long long)); 
	while(cin >> n){
//		long long a[n];     
		for(long long i = 0; i < n; i ++){
			cin >> a[i];
		}
		dp[0] = a[0]; 
		long long  maxnum = a[0];
		for(long long j = 1; j < n; j ++){
			dp[j] = (dp[j - 1] + a[j]) > a[j] ? (dp[j - 1] + a[j]) : a[j];
		if(maxnum < dp[j]){
			maxnum = dp[j];
			}
		}
			cout << maxnum << endl;
    }
	return 0;
}

以上就是该篇的主要内容。欢迎指出错误和提出改进意见，谢谢！

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