这学期听 Teichmüller 理论的基础课, 借此机会终于有动力写一点相关的笔记, 总结已经学过的基础理论的线索. 课程从零开始讲 Riemann 曲面, 但我不打算从零开始写. 因为个人兴趣原因, 笔记的出发点多是偏微分方程, 而不会刻意遵照课程的叙述. 常常会发散得相当远.

第一部分: 复结构的存在性问题

这是个经典的老问题: 给定 维实微分流形 上的一个近复结构 , 什么时候这个近复结构是由复结构诱导出来的?

注: 带有近复结构的微分流形都是可定向的. 只需要取一个不变 Riemann 度量并考虑其 Kähler 形式的幂即可看出这点.

容易看出如下事实: 给定的近复结构 由某复结构诱导, 当且仅当在每一点的某邻域内都有局部实坐标 , 使得 . 因为如果存在这样的局部坐标卡集, 则复坐标卡集 之间的转换函数便适合 Cauchy-Riemann 方程组, 从而是全纯函数; 逆命题则显然成立. 于是, 问题归结为寻找这样的好坐标系, 或求解一些一阶线性微分方程组.

曲面情形: 解 Beltrami 方程

在 是曲面的情形, 回答比较简单. 只需构造一个 -不变的 Riemann 度量 (这是很容易的), 而后证明存在 的局部等温坐标. 实际上, 如果 是某一局部等温坐标的复形式, 则可写 , 而 是此度量下的正交变换, 于是在此局部坐标下有 (局部矩阵表达式; 注意, 只有在等温坐标下才能这样计算). 再加上 和可定向条件, 便算出 在此坐标系下必须等于标准的

这样的计算依赖于曲面为二维这一预设, 它表示如此构造的等温坐标系之间的转换函数是全纯的. 于是, 问题归结为证明: 对于任何给定的度量 , 都存在局部等温坐标.

设在某点 处有局部复坐标 , 将点 映射为平面上的原点. 可以通过凑完全平方而写 , 这里 皆是光滑函数, . 如果 是 Beltrami 方程 在原点附近的光滑解, 且具有非零的梯度, 那么在 的某更小的邻域上, 就是所求的等温复坐标.

在小圆盘 上考虑 Beltrami 方程. 固定一 . 定义积分算子

其中 . 它给出 的右逆. 这样, Beltrami 方程可以重写为 Banach 空间 上的方程

其中 在 上全纯. 根据位势积分的标准理论, 加上 , 容易算出

此处加权范数 , 仅与 和 有关. 于是当 充分小时, 对每个固定的全纯函数 , 根据压缩映像原理, 方程 在 中有唯一解; 若取 , 则当 充分小时, 即有 . 椭圆微分方程的标准理论保证 . 这给出了原问题的解答.

在拟共形映射的理论中研究 Beltrami 方程时并不假定 的连续性, 而只假定 . 这时就只能使用 Calderón-Zygmund 理论来处理方程了. 同样使用压缩映像原理, 可以得到方程的 类解, 其中 比 2 稍大一点 (取决于 与 1 有多接近).

另外, Morrey 早期的一项工作考虑的是所谓的 -拟共形映射. 他通过估计 Morrey norm 证明了这类映射的 Hölder 连续性. 这可以用来处理一般的双变量椭圆微分方程.

作为推论, 可知可定向光滑曲面上的任何一个 Riemann 度量的共形等价类唯一确定了此曲面的一个复结构.

高维情形: Newlander-Nirenberg 定理

如果 , 即 不是曲面, 那么情况要复杂一些.

注意到近复结构 是 (1,1) 型张量场, 故可以作用到余切丛上. 在每一点 处, 复化切空间 都可分解为相应于特征值 的两个子空间的直和. 根据连续性, 便可得到复化切丛的直和分解 , 这里 相应于特征值 , 相应于特征值 . 仿此, 复化的微分形式丛 也有直和分解

外微分算子 被投影成两个算子 和 .

近复结构 称作是可积的, 假如 适合 Frobenius 条件. 由于 (1,0) 向量丛被 (0,1) 形式丛所零化, 这等价于 . 选定局部标架 , 其中

这里希腊字母指标取值于 , 是实局部坐标. 容易写出对应的余标架 , 从而据此局部表达式直接计算可见: 可积性等价于近复结构 的 Nijenhuis 张量为零. 若近复结构是由复结构诱导的, 那么对于局部全纯坐标 , 显然 由 张成, 从而适合 Frobenius 条件. Newlander-Nirenberg 定理断言其逆命题也成立: 如果近复结构 可积, 那么 就是由复结构诱导的.

在高维情形, 这个定理是不平凡的. Newlander 和 Nirenberg 的原文仿照处理曲面情形的思路, 将问题归结为求解多圆盘上的方程 的方程 (这里 可以用近复结构 表出). 他们试图给方程 找到一个用积分来表征的解算子 (表达式来自 Dolbeault-Grothendieck 引理的归纳证明), 使得对 及其导数有多圆盘上的一阶导数的某种 Hölder 估计, 而后仿照曲面情形使用压缩映像原理; 可积条件 (Nijenhuis 张量为零) 被用来说明压缩映像原理给出的积分-微分方程解正是原方程的解.

然而在多复变函数论中, 这种非齐次 Cauchy-Riemann 方程的解是由 Bochner-Martinelli-Koppelman 公式及其变形来表示的, 对于相应的解算子却并没有这样的估计 (似乎存在一些反例). 连 Calderón-Zygmund 型的不等式都无法完全保证解算子在边界上的正则

性. Newlander 和 Nirenberg 的原始论文似乎是有问题的!

Newlander-Nirenberg 定理的证明概要

应该参照 Morrey, Kohn 和 Hörmander 的思路来证明定理.

• Step 1: 问题框架

不妨假定所论的就是开集 , 其上有一局部有上界的函数 . 给定光滑的近复结构 和 的子空间 , 显然可定义相应于此近复结构的 -值 微分形式空间 . 对于函数 和如前文定义的 , 容易看出有 , 这里的对偶余标架 (当然要假定 可使得这些向量场/微分形式逐点线性无关). 显然可以借此把 的定义扩展到 上. 又固定一列上升至 1 的截断函数 和 Hermite 度量 , 使得 (这是容易做到的, 只要 在边界附近衰减得够快). 对于 微分形式

定义相应于 Hermite 度量 的 -范数

寻找局部全纯坐标等价于找到方程 的局部微分同胚解; 根据前面的推理, 已知一个可积条件 . 可以暂时先放宽正则性条件, 转而寻找 上的弱解; 找到弱解之后, 其正则性可以由标准理论得到. 故可将所论的空间放宽到 Hilbert 空间 上.

为此可先考虑一个一般的 Hilbert 空间序列 , 其中 都是稠定闭算子, 且 . 有下列初等命题: 若

则算子 都有闭值域, 且对 , 方程 存在解 适合 .

回到原问题. 可尝试把这个模型实现为

都是按照分布导数的意义来理解的. 现在需要说明两点: 及其 (关于上述规定内积的) 对偶都是稠定且可闭化的; 对于 微分形式 , 成立先验估计 . 有趣的是, 虽然这初看上去是解析方面的命题, 实际上却和 的拓扑性质有所关联 (考虑一下 -上同调即可直观地感受到这一点).

• Step 2: 先验估计

为简单计, 假定权重 . 由于 和 都是一阶微分算子, 所以通过使用上一步定义的截断函数 和磨光容易看出, 按图模 在 中稠密, 而且 在 中按图模 稠密. 这表明 都是闭算子. 由此可以看出引进 Hermite 度量 的好处: 由于有了这个度量, 便只需要考虑紧支光滑微分形式了.

而后可以通过直接的计算来得到想要的先验估计. 由于不必考虑边界项, 所以计算来得简单了不少. 直接的计算给出: 对于 ,

省略号表示不对系数做微分的项 (这些项存在是因为未必有 ). 将上面两式中带微分的部分分别记作 , 则显然当 时有

据此通过乏味的计算, 得到一个最终的不等式: 记 , 则存在一连续实函数 使得

其中 是 Hermite 方阵 的最小特征值.

于是如果希望由此不等式导出想要的先验估计, 就至少得要求 是关于近复结构 的多重次调和函数 (plurisubharmonic function), 即 一致正定. 进一步地, 还得要求 是拟凸域 (pseuodoconvex domain), 亦即存在一个多重次调和函数 使得 . 可以给 复合上一个增长足够快的凸函数 , 使得 , 这时 还是多重次调和函数. 重复上面的计算, 得先验估计 . 于是得到了一个存在性定理:

设 是拟凸域, 则对于 , 只要 , 便有 使得 . 对 的积分估计可以通过上一段的办法得到.

另外, 简单的计算给出: 对于 ,

这可以给出如下的 (标准的) 椭圆正则性结论: 若 , 则一定有 . 由此当然可以得到拟凸域上的关于 -上同调的结论.

Step 3: 证明终结

有了上面的存在性定理, 就可以来构造全纯坐标系了. 取 , 则容易验证 是其上的多重次调和函数, 使得 成为拟凸域. 取 为 与某个凸函数的复合. 通过适当的坐标变换, 不妨设

取 , 则在原点处 . 考虑近复结构 和相应的余标架 . 显然 也是可积的, 也可以定义相应的微分算子 ; 又显然有 (实际上很明显 收敛到 ). 容易看出, 上面两步中所有先验估计对于 都一致地成立, 于是根据存在性定理, 有 使得 , 且 . 由对导数的估计得到实际上 . 由此, 只要 足够小, 由 定义的变换的微分在原点处就线性无关, 而且有 . 显然 便适合 , 从而 就是一个全纯坐标.

参考文献:

Hörmander, L. (1965). L^2 estimates and existence theorems for the $\bar\partial$ operator. Acta Mathematica, 113(1), 89-152.

Hörmander, L., An introduction to complex analysis in several variables, North Holland, third revised edition, 1990

Newlander, A.; Nirenberg, L. (1957). Complex analytic coordinates in almost complex manifolds. Ann. of Math. Second Series. 65 (3): 391–404.