关于平衡二叉树的最重要的一句话:在构建平衡二叉树的过程中,每当插入一个结点时,先检查是否因插入而破坏了树的平衡性,若是,则找出最小不平衡子树,在保持二叉排序树特性的前提下,调整关系。
这句话意味着:只要破坏了平衡性,就马上修改使得二叉树重新平衡,意思就是只要修改了最小不平衡树就可以使得整个二叉树重新平衡.
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
{
int data; /* 结点数据 */
int bf; /* 结点的平衡因子 */
struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;
/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理, */
/* 处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{
BiTree L;
L = (*P)->lchild; /* L指向P的左子树根结点 */
(*P)->lchild = L->rchild; /* L的右子树挂接为P的左子树 */
L->rchild = (*P);
*P = L; /* P指向新的根结点 */
}
/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理, */
/* 处理之后P指向新的树根结点,即旋转处理之前的右子树的根结点0 */
void L_Rotate(BiTree *P)
{
BiTree R;
R = (*P)->rchild; /* R指向P的右子树根结点 */
(*P)->rchild = R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */
R->lchild = (*P);
*P = R; /* P指向新的根结点 */
}
#define LH + 1 /* 左高 */
#define EH 0 /* 等高 */
#define RH - 1 /* 右高 */
/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/* 本算法结束时,指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{
BiTree L, Lr;
L = (*T)->lchild; /* L指向T的左子树根结点 */
switch (L->bf)
{ /* 检查T的左子树的平衡度,并作相应平衡处理 */
case LH: /* 新结点插入在T的左孩子的左子树上,要作单右旋处理 */
(*T)->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH: /* 新结点插入在T的左孩子的右子树上,要作双旋处理 */
Lr = L->rchild; /* Lr指向T的左孩子的右子树根 */
switch (Lr->bf)
{ /* 修改T及其左孩子的平衡因子 */
case LH: (*T)->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH: (*T)->bf = L->bf = EH;
break;
case RH: (*T)->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild); /* 对T的左子树作左旋平衡处理 */
R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */
}
}
/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理, */
/* 本算法结束时,指针T指向新的根结点 */
void RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree R, Rl;
R = (*T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */
switch (R->bf)
{ /* 检查T的右子树的平衡度,并作相应平衡处理 */
case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上,要作单左旋处理 */
(*T)->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH: /* 新结点插入在T的右孩子的左子树上,要作双旋处理 */
Rl = R->lchild; /* Rl指向T的右孩子的左子树根 */
switch (Rl->bf)
{ /* 修改T及其右孩子的平衡因子 */
case RH: (*T)->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
case EH: (*T)->bf = R->bf = EH;
break;
case LH: (*T)->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
}
Rl->bf = EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild); /* 对T的右子树作右旋平衡处理 */
L_Rotate(T); /* 对T作左旋平衡处理 */
}
}
/* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点,则插入一个 */
/* 数据元素为e的新结点,并返回1,否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
/* 失去平衡,则作平衡旋转处理,布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller)
{
if (!*T)
{ /* 插入新结点,树“长高”,置taller为TRUE */
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH;
*taller = TRUE;
}
else
{
if (e == (*T)->data)
{ /* 树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
*taller = FALSE; return FALSE;
}
if (e < (*T)->data)
{ /* 应继续在T的左子树中进行搜索 */
if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) /* 未插入 */
return FALSE;
if (*taller) /* 已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
switch ((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */
{
case LH: /* 原本左子树比右子树高,需要作左平衡处理 */
LeftBalance(T); *taller = FALSE; break;
case EH: /* 原本左、右子树等高,现因左子树增高而使树增高 */
(*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break;
case RH: /* 原本右子树比左子树高,现左、右子树等高 */
(*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;
}
}
else
{ /* 应继续在T的右子树中进行搜索 */
if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) /* 未插入 */
return FALSE;
if (*taller) /* 已插入到T的右子树且右子树“长高” */
switch ((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */
{
case LH: /* 原本左子树比右子树高,现左、右子树等高 */
(*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;
case EH: /* 原本左、右子树等高,现因右子树增高而使树增高 */
(*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break;
case RH: /* 原本右子树比左子树高,需要作右平衡处理 */
RightBalance(T); *taller = FALSE; break;
}
}
}
return TRUE;
}
int main(void)
{
int i;
int a[10] = { 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8 };
BiTree T = NULL;
Status taller;
for (i = 0; i < 10; i++)
{
InsertAVL(&T, a[i], &taller);
}
printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
return 0;
}
1.关于insertAVL方法,需要说明的是,它用的是递归的思想,一层一层从下往父类修改平衡因子,而不用计算每个结点的BF,仅仅是根据左子树与右子树的高度差。因为是只要一破坏了平衡就修改,所以平衡因子的数只能是 -2、-1、0、1、2这几个数的取值。所以只要通过插入前的高度差与插入后的位置(左子树还是右子树)就可以确定现在的平衡因子。如果破坏了平衡性,就调用**Balance函数,调整平衡,并置taller为false,因为已经调整了平衡,高度并未发生改变,所以在这个结点以上的所有父亲都不用修改其平衡因子。
2.关于Balance方法,以leftBalance为例进行说明
①首先,之所以调用leftBalance是因为在插入前左子树的深度就比右子树的深度大一,现在插入的位置又是在左子树,所以左子树的深度比右子树的深度大于2,也就是最小不平衡树的顶点的平衡因子为2
②因为插入的是最小不平衡树的顶点T的左子树上L,所以需要比较顶点T 与 其左子树L 的平衡因子的符号,如果一致,就做简单的右旋转;如果不一致就先对其左子树做左旋转,再对最小不平衡树T做右旋转。——也就是说当左子树 L 的平衡因子为1时(LH)就进行简单的右旋转,为-1(RH)时就先对子树L做左旋转再对最小不平衡树T做右旋转
③关于先对左子树做左旋转,再对最小不平衡树做右旋转的平衡因子的改变。因为涉及对做子树L的左旋转,所以L的右子树Lr会受到影响,所以会根据Lr的平衡因子的不同而会有不同的改变
a.当Lr 的平衡因子为LH(相当于1)时,T的平衡因子变为-1,L的平衡因子变为0
b..当Lr的平衡因子为EH(相当于0)时,T的平衡因子变为0,L的平衡因子变为0
c..当Lr的平衡因子RH(相当于-1)时,T的平衡因子变为0,L的平衡因子变为1
可能会想:这只是特殊情况,其实并不是。因为每次旋转,受到影响的只有那么几个点,其他点的位置会改变,可是是以整体的方式变动,所以其他点的平衡因子并不会改变。rightBalance与leftBalance形成对称,所以就不画图啦