以前光看了n多排序算法,知道仅通过比较的排序算法一共两种复杂度

O(N²)或O(N*lgN),

由于高数学的不好,之前一看到后者就放弃了思考,没有真正研究为什么会有个lgN,

这两天工作不是很忙,看了一下基础知识,有了一定的认识,算是初步搞清楚了原因.

写在这里算是一个记录,如果有问题也请大家指正.

说到N*lgN的算法大致上有几种:堆排序,归并排序,快速排序.

由于学习数据结构的时候老师讲过快速排序,(其实各种都讲过,我只记住了这种)我现在还是非常有印象的,

这几种排序实际都有一个共同点,这个共同点让他们有了lgN的特性.

都是使用了分治算法,把大集合通过分治,形成小集合,小集合的排序再次递归更小集合,直到1个(还可能是2个或3个)元素为止.

这样对于整个集合来讲,每次递归都是处理2个元素数量是1/2当前元素数量的新集合,

f(x) = f(x/2) + a (有限极小数)

这个特点在堆排序和归并排序中尤为突出,他们是绝对的遵循2分法的.而快速排序结果是随机的,如果点背,可能出现O(N*N)的可能性

下面用堆排序为例说明一下NlgN:

为了让更多人明白,我简单把堆排序说一下:

堆排序就是把原来输入的值串,当成一棵完全2叉树,每次找最大值的时候,都是把数的左右子节点比较,把大于自己的最大的一个跟自己互换,找到一个后,重新找剩下的n-1个,一直到最终找完所有节点.

由于递归使用的是深度优先,每次都会从最底层往上找起,每次找的次数假设是F(x),则其需要找两个子树F(x/2)并且等两个子树处理完后,比较2次(子树的根比较一次,跟自己比较一次)如果连移动都算上,是3次操作

值的注意的是,由于最初排列过了以后,找子树的时候只要找那颗被破坏了的子树即可,

另一颗排过序了的不需要再找了. (这个我自己都感觉说的不明白,如果实在不行,大家再去看看相关资料吧)

这样分析下来,找第x个节点的操作次数为: f(x) <= f((x-1)/2) +3 (当然,我理解算成 + 2也行,x-1是把根去掉)

由于当x为2的整次方倍 + 1 的时候,正好是这个数值,当其他的情况 也不大于这个值

所以我们可以就使用最大值的情况 f(x) = f((x-1)/2) + 3; 为了计算更容易

直接 f(x) = f(x/2) + 3

 f(x/2) = f(x/4) + 3

……

 f(x/2^m-1) = f(x/2^m) + 3   (2^m>=x)  <= f(1)+3 < 3;

由于一共m个算式 加起来是 f(x) = 3m 而 m = log(2)(x)

f(x)=3log(2)(x);

而计算f(1)+f(2) + … + f(n)的时候,我们把他分城 m段(m= log(2)(n)) (分别为1,2,4,8,…2^m-1)个元素(当然最后一端可能没有那么多)

求他们的和的话就是

2^m-1(m-1) + 2^m-2(m-2) + ….<2^m-1m + 2^m-2m + … < 2^mm 而m = log(2)(N)

 2^mm =  2^log(2)(n)*log(2)(n) = N * log(2)(N)

得证 哈哈

在这里写也太费劲了,上标累死人啊