编程之美-1的个数

1 的数目

给定一个十进制正整数 N，写下从 1 开始，到 N 的所有整数，
然后数一下其中出现的所有“1”的个数。
例如：
N= 2，写下 1，2。这样只出现了 1 个“1”。
N= 12，我们会写下 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样，1的个数是 5。
问题是：
写一个函数f(N) 返回1到N之间出现的“1”的个数,比如f(12)=5。

这个问题看上去并不是一个困难的问题，因为不需要太多的思考，大家都能找到一个最简单的方法来计算 f（N），那就
是从1开始遍历到N,将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，
自然就得到了从1到N所有“1”的个数的和.C语言实现如下:

#include stdio.h
int Count1(int n)
{
    int iNum=0;
    while(n!=0)
    {
        iNum+=(n==1)?1:0;
        n/=10;
              
    }
    return iNum;
}
int Count2(int n)
{
    int iCount=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        iCount+=Count1(i);
    } 
    return iCount; 
}

int main()
{
     int x;
     scanf("%d",&x);
     printf("%d",Count2(x));
     return 0;
}

但是这个算法的致命问题是效率，它的时间复杂度是O（N）×计算一个整数数字里面“1”的个数的复杂度 = O（N *log2 N）,如果给定的 N 比较大，则需要很长的运算时间才能得到计算结果。

解法二

<编程之美>先从一些简单的情况开始观察:

如果N是一位数,可以确定f(N)=1

如过是二位数,如果 N=13，那么从 1 到 13 的所有数字：1、2、3、4、5、6、
7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有 1，我们可以将它们分开来考虑，个位出现 1 的次数有两次：1 和 11，十位出现 1 的次数有 4 次：10、11、12 和 13，所以 f（N）=2+4=6。要注意的是 11 这个数字在十位和个位都出现了 1， 但是 11 恰好在个位为 1 和十位为 1 中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再考虑 N=23 的情况，它和 N=13 有点不同，十位出现 1 的次数为 10 次，从 10 到 19，个位出现 1 的次数为 1、11 和 21，所以f（N）=3+10=13。通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现 1 的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果 N 的个位数大于等于 1，则个位出现 1 的次数为十位数的数字加 1；如果N 的个位数为 0，则个位出现 1 的次数等于十位数的数字。而十位数上出现 1 的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于 1，则十位数上出现 1 的次数为个位数的数字加 1；如果十位数大于 1，则十位数上出现 1 的次数为 10。
f(13) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 2 + 4 = 6；
f(23) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 3 + 10 = 13；
f(33) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 4 + 10 = 14；
…
f(93) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 10 + 10 =20；

接着分析 3 位数,

如果 N = 123：

个位出现 1 的个数为 13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121
十位出现 1 的个数为 20：10～19, 110～119
百位出现 1 的个数为 24：100～123

f（123）= 个位出现 1 的个数 + 十位出现 1 的个数 + 百位出现 1 的次数 = 13 + 20 + 24 = 57；同理我们可以再分析 4 位数、 位数。根据上面的一些尝试，下面我们推导出一般情况下，从 N 得到 f（N）的计算方法： 

假设 N=abcde，这里 a、b、c、d、e 分别是十进制数 N 的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现 1 的次数，它将会受到三个因素的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位（更高位）以上的数字。

如果百位上的数字为 0，则可以知道，百位上可能出现 1 的次数由更高位决定，比如 12 013，则可以知道百位出现 1 的情况可能是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共有 1 200 个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）×当前位数（100）。

如果百位上的数字为 1，则可以知道，百位上可能出现 1 的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于 12 113，受更高位影响，百位出现 1 的情况是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共 1 200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）×当前位数（100）。但是它还受低位影响，百位出现 1 的情况是 12 100～12 113，一共114 个，等于低位数字（123）+1。 

如果百位上数字大于 1（即为 2~9），则百位上可能出现 1的次数也仅由更高位决定，比如 12 213，则百位出现 1 的可能性为：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有 1 300 个，并且等于更高位数字+1（12+1）×当前位数（100）。

通过上面的归纳和总结，我们可以写出如下的更高效算法来计算 f（N）：

#include
int Sumls(int n)
{
    int iCount=0,iFactor=1,iLowerNum=0,iCurrNum=0,iHigherNum=0;
    while(n/iFactor!=0)
    {
        iLowerNum=n-(n/iFactor)*iFactor;
        iCurrNum=(n/iFactor)%10;
        iHigherNum=n/(iFactor*10);
       
        switch(iCurrNum)
        {
            case 0:
                iCount+=iHigherNum*iFactor;
                break;
            case 1:
                iCount+=iHigherNum*iFactor+iLowerNum+1;
                break;
            default:
                iCount+=(iHigherNum+1)*iFactor;
                break;
                       
        }
        iFactor*=10;
       
    }
    return iCount; 
}
int main()
{
    int x;
    scanf("%d",&x);   
    printf("%d",Sumls(x));
    return 0;
}