编程之美之2.7 最大公约数问题

问题:

求两个数的最大公约数

解法一:

欧几里得辗转相除法:

f(x,y) = GCD(x,y), 取k = x / y, b = x % y,则:x = k*y + b;
如果一个数能整除x,y,则它也能整除b,y; 而且能整除b,y的数必能整除x,y,即x,y和b,y的公约数是相同的,其最大公约数也是相同的,即f(x,y) = f(y ,x % y) (x>=y>0)

例如,计算a = 1071和b = 462的最大公约数的过程如下:从1071中不断减去462直到小于462(可以减2次,即商q0 = 2),余数是147:
1071 = 2 × 462 + 147.
然后从462中不断减去147直到小于147(可以减3次,即q1 = 3),余数是21:
462 = 3 × 147 + 21.
再从147中不断减去21直到小于21(可以减7次,即q2 = 7),没有余数:
147 = 7 × 21 + 0.
此时,余数是0,所以1071和462的最大公约数是21

递归算法:

[cpp]
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  1. #include<stdio.h>
  2. //递归形式
  3. intGCD(inta,intb)
  4. {
  5. if(b==0){
  6. returna;
  7. }
  8. else{
  9. //a,b和b,a%b有相同的最大公约数
  10. returnGCD(b,a%b);
  11. }
  12. }
  13. intmain(){
  14. inta,b;
  15. scanf(“%d%d”,&a,&b);
  16. printf(“%d\n”,GCD(a,b));
  17. }

例如GCD(1071, 462)的计算过程是:

函数的第一次调用计算GCD(462, 1071 mod 462) = GCD(462, 147);

下一次调用计算 GCD(147, 462 mod 147) = GCD(147, 21),

在接下来是 GCD(21, 147 mod 21) = GCD(21, 0) = 21。

非递归算法:

[cpp]
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  1. #include<stdio.h>
  2. //非递归形式
  3. intGCD(inta,intb)
  4. {
  5. inttemp=a;
  6. while(b){
  7. a=b;
  8. b=temp%b;
  9. }
  10. returna;
  11. }
  12. intmain(){
  13. inta,b;
  14. scanf(“%d%d”,&a,&b);
  15. printf(“%d\n”,GCD(a,b));
  16. }

解法二:

在解法一中我们用到了取模运算。在大整数中取模运算(涉及到除法运算)是非常高贵的开销。

我们想想避免用取模运算。

类似前面的分析,一个数能整除x,y则必能同时整除x – y,y。能同时整除x – y,y 则必能同时整除x,y。即x,y的公约数和x-y,y的公约数是一样的,其最大公约数也是一样的。

[cpp]
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  1. #include<stdio.h>
  2. intGCD(inta,intb)
  3. {
  4. //如果a<b
  5. if(a<b){
  6. returnGCD(b,a);
  7. }
  8. if(b==0){
  9. returna;
  10. }
  11. else{
  12. returnGCD(a-b,b);
  13. }
  14. }
  15. intmain(){
  16. inta,b;
  17. scanf(“%d%d”,&a,&b);
  18. printf(“%d\n”,GCD(a,b));
  19. }

此解法用减法而不是除法,这样迭代的次数比除法要多,当遇到f(10000000,1)的情况时这不是一个好方法。

解法三:

分析:

对于x,y,如果y = k * y1,x = k * x1,则f(y,x) = K*f(x1,y1);

如果x = p * x1, 假设p是素数,且 y % p != 0 ,即y不能被p整除,则f(x,y) = f(x1,y).

可以利用上面两点进行改进。因为2是素数,同时对于二进制表示的大整数而言可以很容易的将除以2和乘以2的算法转换为移位运算,从而避免大整数除法。

可以充分利用2进行分析:
若x,y都为偶数(2肯定是公约数),则f(x,y) = 2*f(x / 2,y / 2) = 2*f(x>>1,y>>1);
若x为偶数,y为奇数(2肯定不是公约数),则f(x,y) = f(x / 2, y / 2) = f(x>>1, y)
若x为奇数,y为偶数2肯定不是公约数),则f(x,y)= f(x, y / 2) = f(x, y>>1)
若x,y都为奇数(2肯定不是公约数),则f(x,y) = f(y, x-y) (x-y肯定为偶数) = f(y, (x-y)/2)

[cpp]
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  1. #include<stdio.h>
  2. //判断奇偶性
  3. intIsEvenOdd(intn){
  4. if(n%2==0){
  5. return1;
  6. }
  7. else{
  8. return0;
  9. }
  10. }
  11. intGCD(inta,intb)
  12. {
  13. //如果a<b
  14. if(a<b){
  15. returnGCD(b,a);
  16. }
  17. if(b==0){
  18. returna;
  19. }
  20. //若x,y都为偶数
  21. if(IsEvenOdd(a)==1&&IsEvenOdd(b)==1){
  22. return2*GCD(a>>1,b>>1);
  23. }
  24. //若x,y都为奇数
  25. elseif(IsEvenOdd(a)==0&&IsEvenOdd(b)==0){
  26. returnGCD(b,a-b);
  27. }
  28. //若x是偶数y是奇数
  29. elseif(IsEvenOdd(a)==1&&IsEvenOdd(b)==0){
  30. returnGCD(a>>1,b);
  31. }
  32. //若x是奇数y是偶数
  33. else{
  34. returnGCD(a,b>>1);
  35. }
  36. }
  37. intmain(){
  38. inta,b;
  39. scanf(“%d%d”,&a,&b);
  40. printf(“%d\n”,GCD(a,b));
  41. }

这个算法的好处就是用移位操作来代替除法操作,大大节约时间。



    原文作者:SunnyYoona
    原文地址: https://blog.csdn.net/SunnyYoona/article/details/84600624
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