最近楼楼被男朋友带着玩dota，有点上瘾，终于在昨天晚上作出了一个重大的决定，shift+delete删掉warIII文件夹，从此退出dota的明争暗斗。不过最近看男票已经将战场从11转到了topcoder，嗯，这是个好现象，希望楼楼也能跟着玩儿起来。

理想是美好的，唉，可是楼主还在编程之美的初级阶段啊。话不多说了，希望自己加油加油再加油！！(^o^)/~

今天要看的一道题目是求数组中最长递增子序列。

题目简介：

写一个时间复杂度尽可能低的程序，求一个一维数组（N）个元素中的最长递增子序列的长度。例如:在序列1， -1， 2， -3， 4， -5， 6， -7的最长递增子序列的长度为4，这个子序列为1， 2， 4， 6.

注意：题目只要求求长度，不一定要求出这个递增序列。

解法分析：

在这里，要记住一个特别重要的点（对于像楼主这种渣渣），那就是满足无后效性可以使用动态递归来解决。什么叫无后效性，比如1， -1， 2， -3， 4， -5， 6， -7这个序列，当我们找到-1,2，当我们遍历到元素4的时候，只需要比较4和2的关系，如果4比2大，那就可以加进去。而2之前的元素对于我们做决断没有任何影响，这就叫做“无后效性”。所以我们的解法是：

对于前面i个元素的任何一个递增子序列，如果这个子序列的最大元素比array[i+1]小，那么就可以将array[i+1]元素加在这个子序列后面，构成一个新的递增子序列。

详情请见代码，算法复杂度O(N^2)，代码中我有非常详细的解释，有什么不明白的，请留言。

#include <iostream> 
#include <vector>
using namespace std;  

int LIS (int *pArray, int len);
int getMinOfArray (int *pArray, int len);

int main()  
{  
    int a[] = {2, -1, 2, -3, 4, 3, 1, 2, -7, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
    int len = sizeof(a) / sizeof(int);
    vector<int> longestSubSequence;

    cout << "最大递增序列的长度为" << LIS(a, len) << endl;
    system("pause");
} 


int LIS (int *pArray, int len)
{
    int *MaxV = new int[len + 1]();
    MaxV[1] = pArray[0];
    MaxV[0] = getMinOfArray(pArray, len) - 1;
    int *LIS = new int[len]();

    //初始化最大递增序列的信息
    for (int i = 0 ; i < len; i++)
    {
        LIS[i] = 1;
    }

    int nMaxLis = 1;

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        int j;

        //下面代码的作用是递归，看有没有比最长递增序列的最大元素的最小值大，如果有的话，那么就可以直接加在后面了。然后最长递增序列的个数加1
        //比如，当i = 4, nMaxLis = 2，时，MaxV[2] = 2, a[i] = 4, 4 > 2, 那么4可以加在2后面，递增序列的元素个数加1。找到之后，直接break.
        for (j = nMaxLis; j >= 0; j--)
        {
            if (pArray[i] > MaxV[j])
            {
                LIS[i] = j + 1;
                break;
            }
        }

        //如果i处的最大递增序列，比原来的nMax大的话，那么就更新啦。并且最长递增序列的最大元素的最小值更新为当前元素
        if (LIS[i] > nMaxLis)
        {
            nMaxLis = LIS[i];
            MaxV[LIS[i]] = pArray[i];
        }

        //如果没有比原来的最大长度还长的话，那么就有可能需要更新本长度最大元素的最小值了。比如，nMaxLis = 3的时候，前面我们找到的序列是{1, 2, 4}或者{-1, 2, 4}
        //当 i = 5时，j = 2时跳出循环。Lis[5] = 3 <= nMaxLis, 当时3比4小，所以nMaxLis = 3时最大元素的最小值由4更新为3.
        else if(MaxV[j] < pArray[i] && pArray[i] < MaxV[j + 1])
        {
            MaxV[j + 1] = pArray[i];
        }
    }
    delete []MaxV;
    delete []LIS;
    return nMaxLis;
}

//获取数组元素的最小值
int getMinOfArray(int *pArray, int len)
{
    int result = pArray[0];

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        if (pArray[i] < result)
        {
            result = pArray[i];
        }
    }
    return result;
}