矩阵分解

特征向量和特征值

我们在《线性代数》课学过方阵的特征向量和特征值。

定义：设$A{\in}F^{n{\times}n}$是n阶方阵。如果存在非零向量$X{\in}F^{n{\times}1}$使$AX={\lambda}X$对某个常数${\lambda\in}F$成立，则称$\lambda$是A的特征值(eigenvalue)，X是属于特征值${\lambda}$的特征向量。
设$\sigma$是数域F上向量空间V上的线性变换，如果某个非零向量$u{\in}V$被$\sigma$映射到自己的常数倍$\sigma(u)={\lambda}u$，则称常数$\lambda\in{F}$是$\sigma$的特征值，向量u是属于特征值$\lambda$的特征向量。

又找$\lambda$又找A确实不是一件容易事。好在，我们可以把这事儿交给Tensorflow去解决。我们可以用tf.self_adjoint_eigvals来求特征值，相当于MATLAB的eig函数，只不过名字长了点。

例：

>>> A1 = tf.constant([[3,2,1],[0,-1,-2],[0,0,3]],dtype=tf.float64)
>>> sess.run(A1)
array([[ 3.,  2.,  1.],
       [ 0., -1., -2.],
       [ 0.,  0.,  3.]])
>>> sess.run(tf.self_adjoint_eigvals(A1))
array([-1.,  3.,  3.])

附：MATLAB例:

> A1 = [3,2,1;0,-1,-2;0,0,3]
A1 =

   3   2   1
   0  -1  -2
   0   0   3

> eig(A1)
ans =

   3
  -1
   3

也就是说，A1矩阵有3个特征值-1,3,3。

特征分解

我们把用self_adjoint_eigvals求出来的向量转换成对角矩阵：

>>> sess.run(tf.diag(tf.self_adjoint_eigvals(A1))) 
array([[-1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  3.,  0.],
       [ 0.,  0.,  3.]])

同样，我们把每个特征向量组成一个矩阵，假设为V.
这样，我们可以得到一个公式：$A = Vdiag(\lambda)V^{-1}$
按照上面公式方法对矩阵A所做的操作叫做A的特征分解(eigen decomposition)

不是每一个矩阵都可以分解成特征值和特征向量。在某些情况下，特征分解存在，但是值是复数而不是实数。幸运的是，机器学习中遇到的方阵基本都可以分解成$A=Q{\Lambda{Q^T}}$,其中Q是特征向量构成的正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵。

奇异值分解

对于多数方阵，我们可以进行特征值分解。如果对于非方阵该怎么办呢？答案是我们有类似的奇异向量(Singular vector)和奇异值(singular value). 通过奇异向量和奇异值，我们可以把非方阵进行奇异值分解（singular value decomposition），简称svd.
SVD将矩阵分解为三个矩阵的乘积：$A=UDV^T$。其中，U和V都定义为正交矩阵。D是对角矩阵，虽然不一定是方阵。
如果A是一个mn的矩阵，那么U是一个mm的矩阵，V是一个nn的矩阵，D与A一样是mn的矩阵。

我们可以通过tf.svd函数来做奇异值分解，例：

>>> As =tf.constant( [[1,2,3],[4,5,6]], dtype=tf.float64)
>>> sess.run(As)
array([[1., 2., 3.],
       [4., 5., 6.]])
>>> sess.run(tf.svd(As, full_matrices=True))
(array([9.508032  , 0.77286964]), array([[-0.3863177 , -0.92236578],
       [-0.92236578,  0.3863177 ]]), array([[-0.42866713,  0.80596391,  0.40824829],
       [-0.56630692,  0.11238241, -0.81649658],
       [-0.7039467 , -0.58119908,  0.40824829]]))

As矩阵是23的矩阵。所以U是22的，而V是3*3的。第1个值是奇异值，[9.508032 , 0.77286964]，它是D的对角线上值，其它位置为0.
D的完整值为：

array([[9.508032  , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.77286964, 0.        ]])

三个矩阵的完整值为：

#U
array([[-0.3863177 , -0.92236578],
       [-0.92236578,  0.3863177 ]])
#D
array([[9.508032  , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.77286964, 0.        ]])
#V
array([[-0.42866713,  0.80596391,  0.40824829],
       [-0.56630692,  0.11238241, -0.81649658],
       [-0.7039467 , -0.58119908,  0.40824829]])

我们来验算一下这个奇异值分解是不是正确的，别忘了V是要转置的：

>>> sess.run(U @ D @ tf.transpose(V))
array([[0.99999997, 1.99999999, 2.99999997],
       [3.99999997, 5.00000001, 5.99999996]])

虽然是有点浮点计算误差，但是结果还确实是我们分解前的那个。关于计算误差的问题，在机器学习中也自然是重要问题，后面会讨论。

Moore-Penrose广义逆

铺垫了这么多，其实我们是在为解线性方程组奋斗。我们在第一节Tensorflow的线性回归例子，还有神经网络的例子都看到，求解线性方程组是重要的运算。
形如Ax=b的线性方程组，如果A有逆矩阵就好办了，两边分别右乘A逆就可以解出方程组。
但是问题是，机器学习中有很多方程是欠定的(underdetermined)。
这时候我们就需要一种类似于逆矩阵的工具 – Moore-Penrose广义逆(pseudoinverse)。
Moore-Penrose广义逆定义如下：
$A^+=lim_{\alpha\rightarrow{0}}(A^TA+\alpha{I})^{-1}A^T$

这个定义在计算时是没法使用的，我们使用另一个公式来算
$A^+=VD^+U^T$

这个公式一看太熟悉了，就是刚才我们学习的奇异值分解嘛。
其中$D^+$，D的广义逆的计算方法是所有非0值取倒数，然后矩阵转置。

对于一个AX=B方程组的最小二乘法解，一般来讲不是唯一的。通常把它们中2-范数最小的一个称为极小最小二乘解，也叫最佳逼近解。
可以证明，AX=B必有唯一的极小最小二乘解，这个解就是$X=A^+B$

广义逆简史

首先复习一下逆阵的概念，如果一个矩阵有逆阵，条件为：

1. 必须是方阵
2. 行列式不能为0

美国数学家Moore于1920年逆矩阵的概念推广到任意矩阵上，使用的方法是正交投影算子来定义的。
1955年，英国数学家Penrose用下面的方程组来定义广义逆：
$AGA=A, GAG=G, (AG)^H=AG (GA)^H=GA$
其中，H这个符号代表矩阵共轭的转置，对于实数就相当于T。
不久之后，瑞典大地测量学家Arne Bjerhammer证明了Moore广义逆与Penrose广义逆的等价性。所以把它定义为Moore-Penrose广义逆。除了$A+$之外，还有$A^-$广义逆等。