二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），也称二叉搜索树。
定义：
- 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；
- 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
- 左、右子树也分别为二叉排序树；
添加删除查找节点方法实现：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define SIZE 10
typedef struct tagNode{
int value;
struct tagNode* left;
struct tagNode* right;
}treeNode;
//打印数组
void displayArray(int array[],int size){
printf("the array is:");
int i;
for(i=0;i<size;i++){
printf("%d ",array[i]);
}
printf("\n");
}
//按左中右顺序遍历树
void displayTree(treeNode* node){
if(node == NULL) return;
if(node->left != NULL){
displayTree(node->left);
}
printf("%d ",node->value);
if(node->right != NULL){
displayTree(node->right);
}
}
//查找以node为节点的树中上是否存在vlaue的节点
treeNode* searchTree(treeNode* node, int value){
if(node->value == value){
return node;
}else if(node->value > value){
if(node->left != NULL){
return searchTree(node->left, value);
}else{
return NULL;
}
}else{
if(node->right != NULL){
return searchTree(node->right, value);
}else{
return NULL;
}
}
}
//查找以node为节点的树中上是否存在vlaue的节点,parent为查找到的节点的父节点。
//dir为1表示parent节点的左节点为查找结果
//dir为2表示parent节点的右节点为查找结果
treeNode* searchTreeWithParent(treeNode* node, treeNode** parent, int* dir, int value){
if(node->value == value){
return node;
}else if(node->value > value){
if(node->left != NULL){
*dir = 1;
*parent = node;
return searchTreeWithParent(node->left, parent, dir, value);
}else{
return NULL;
}
}else{
if(node->right != NULL){
*dir = 2;
*parent = node;
return searchTreeWithParent(node->right, parent, dir, value);
}else{
return NULL;
}
}
}
//将iNode插入到以node为根节点的树中
void insertNode(treeNode* node, treeNode* iNode){
if(iNode->value >= node->value && node->right != NULL){
insertNode(node->right, iNode);
return;
}
if(iNode->value < node->value && node->left != NULL){
insertNode(node->left, iNode);
return;
}
if(iNode->value >= node->value && node->right == NULL){
node->right = iNode;
}
if(iNode->value < node->value && node->left == NULL){
node->left = iNode;
}
}
//从以root为根节点的树中删除值为value的节点
void deleteNode(treeNode** root, int value){
treeNode* parent = NULL;
int dir = -1;
treeNode* deleteNode = searchTreeWithParent(*root,&parent,&dir,value);
if(deleteNode == NULL){
printf("%s\n", "node not found");
}else{
if(deleteNode->left == NULL && deleteNode->right == NULL){
//对应说明中的a
if(parent != NULL){
if(dir == 1)
parent->left = NULL;
else
parent->right = NULL;
}else{//对应说明中的b
*root = NULL;
}
}else if(deleteNode->left != NULL && deleteNode->right == NULL){
//对应说明中的c
if(parent != NULL){
if(dir == 1)
parent->left = deleteNode->left;
else
parent->right = deleteNode->left;
}else{//对应说明中的d
*root = deleteNode->left;
}
}else if(deleteNode->left == NULL && deleteNode->right != NULL){
//对应说明中的e
if(parent != NULL){
if(dir == 1)
parent->left = deleteNode->right;
else
parent->right = deleteNode->right;
}else{//对应说明中的f
*root = deleteNode->right;
}
}else{
insertNode(deleteNode->left,deleteNode->right);
//对应说明中的g
if(parent != NULL){
if(dir == 1)
parent->left = deleteNode->left;
else
parent->right = deleteNode->left;
}else{//对应说明中的h
*root = deleteNode->left;
}
}
free(deleteNode);
deleteNode = NULL;
}
}
//使用array数组中的数，创建以root为根节点的树，
void createTree(treeNode** root, int array[], int size){
int i;
*root = (treeNode*)malloc(sizeof(treeNode));
(*root)->value = array[0];
(*root)->left = NULL;
(*root)->right = NULL;
for(i=1;i<size;i++){
treeNode* child = (treeNode*)malloc(sizeof(treeNode));
child->value = array[i];
child->left = NULL;
child->right = NULL;
insertNode(*root, child);
}
}
//删除以node为根节点的树
void deleteTree(treeNode* node){
if(node == NULL) return;
if(node->left != NULL){
deleteTree(node->left);
}
if(node->right != NULL){
deleteTree(node->right);
}
if(node->left == NULL && node->right == NULL){
free(node);
node = NULL;
}
}
int main(int argc, char* argv[]){
int array[SIZE] = {4,1,45,78,345,23,12,3,6,21};
displayArray(array,SIZE);
treeNode *root = NULL;
createTree(&root, array, SIZE);
printf("the tree is(left->middle->right):");
displayTree(root);
printf("\n");
int value = atoi(argv[1]);
treeNode* parent = NULL;
int dir = -1;
printf("search value %d:",value);
if(searchTree(root,value) != NULL){
printf("%s\n","exist");
}else{
printf("%s\n","not exist");
}
printf("delete value:%d ",value);
deleteNode(&root,value);
printf("\n");
printf("the tree is(left->middle->right):");
displayTree(root);
printf("\n");
deleteTree(root);
return 0;
}
红黑树是对二叉排序树的优化，在每次插入节点后根据黑树树的特定规则调整树的结构，使树尽量的平衡。
红黑树规则：
- 节点是红色或黑色
- 根节点是黑色
- 每个叶节点是黑色
- 每个红色节点的两个子节点是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能由两个连续的红色节点）
- 从任一一个节点到其他每个叶子的所以体验路径都包含相同数目的黑色节点
这些约束强制了红黑树的关键性质：从根到叶子的最长的可能路径不多余最短可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。
要知道为什么这些特性确保了这个结果，注意到性质4导致了路径不能有两个毗连的红色节点就足够了。最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。
