平衡二叉树(Self-Balancing Binary Search Tree/Height-Balanced Binary Search Tree)，是一种二叉排序树，当中每个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1.

平衡二叉树的前提是二叉排序树，不是二叉排序树的都不是平衡二叉树。

平衡因子BF(Balance Factor)：二叉树上节点的左子树深度减去右子树深度的值。

最小不平衡子树：距离插入节点近期的。且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树。
下图中，新插入节点37时。距离它近期的平衡因子绝对值超过1的节点是58。所以从58開始下面的子树为最小不平衡子树。

实现原理
构建二叉排序树的过程中。每当插入一个节点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是。则找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各个节点之间的链接关系，进行对应的旋转，使之成为新的平衡子树。

a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}

插入3,2,1时，右旋一次，插入4,5左旋一次

插入6，左旋一次，插入7，左旋一次

插入10,9时，不是简单的左旋。这时要统一BF。

7的BF=-2。10的BF=1，一正一负。符号不统一。先对9,10右旋。再以7为最小不平衡子树左旋

得到图13后，插入8，和上面相似

实现算法

右旋算法

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{
    int data;   /* 结点数据 */
    int bf; /* 结点的平衡因子 */ 
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;


/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理。 */
/* 处理之后p指向新的树根结点。即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{ 
    BiTree L;
    L=(*P)->lchild; /* L指向P的左子树根结点 */ 
    (*P)->lchild=L->rchild; /* L的右子树挂接为P的左子树 */ 
    L->rchild=(*P);
    *P=L; /* P指向新的根结点 */ 
}

左旋算法相似。

左平衡旋转处理算法

#define LH +1 /* 左高 */ 
#define EH 0 /* 等高 */ 
#define RH -1 /* 右高 */ 

/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{ 
    BiTree L,Lr;
    L=(*T)->lchild; /* L指向T的左子树根结点 */ 
    switch(L->bf)
    { /* 检查T的左子树的平衡度，并作对应平衡处理 */ 
         case LH: /* 新结点插入在T的左孩子的左子树上。要作单右旋处理 */ 
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            R_Rotate(T);
            break;
         case RH: /* 新结点插入在T的左孩子的右子树上。要作双旋处理 */ 
            Lr=L->rchild; /* Lr指向T的左孩子的右子树根 */ 
            switch(Lr->bf)
            { /* 改动T及其左孩子的平衡因子 */ 
                case LH: (*T)->bf=RH;
                         L->bf=EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
                         break;
                case RH: (*T)->bf=EH;
                         L->bf=LH;
                         break;
            }
            Lr->bf=EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild); /* 对T的左子树作左旋平衡处理 */ 
            R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */ 
    }
}

右平衡旋转处理算法相似。

附加源代码

#include "stdio.h" 
#include "stdlib.h" 
#include "io.h" 
#include "math.h" 
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码。如OK等 */ 


/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{
    int data;   /* 结点数据 */
    int bf; /* 结点的平衡因子 */ 
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;


/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理。 */
/* 处理之后p指向新的树根结点。即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{ 
    BiTree L;
    L=(*P)->lchild; /* L指向P的左子树根结点 */ 
    (*P)->lchild=L->rchild; /* L的右子树挂接为P的左子树 */ 
    L->rchild=(*P);
    *P=L; /* P指向新的根结点 */ 
}

/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
/* 处理之后P指向新的树根结点。即旋转处理之前的右子树的根结点0 */
void L_Rotate(BiTree *P)
{ 
    BiTree R;
    R=(*P)->rchild; /* R指向P的右子树根结点 */ 
    (*P)->rchild=R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */ 
    R->lchild=(*P);
    *P=R; /* P指向新的根结点 */ 
}

#define LH +1 /* 左高 */ 
#define EH 0 /* 等高 */ 
#define RH -1 /* 右高 */ 

/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{ 
    BiTree L,Lr;
    L=(*T)->lchild; /* L指向T的左子树根结点 */ 
    switch(L->bf)
    { /* 检查T的左子树的平衡度，并作对应平衡处理 */ 
         case LH: /* 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */ 
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            R_Rotate(T);
            break;
         case RH: /* 新结点插入在T的左孩子的右子树上。要作双旋处理 */ 
            Lr=L->rchild; /* Lr指向T的左孩子的右子树根 */ 
            switch(Lr->bf)
            { /* 改动T及其左孩子的平衡因子 */ 
                case LH: (*T)->bf=RH;
                         L->bf=EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
                         break;
                case RH: (*T)->bf=EH;
                         L->bf=LH;
                         break;
            }
            Lr->bf=EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild); /* 对T的左子树作左旋平衡处理 */ 
            R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */ 
    }
}

/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */ 
/* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */ 
void RightBalance(BiTree *T)
{ 
    BiTree R,Rl;
    R=(*T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */ 
    switch(R->bf)
    { /* 检查T的右子树的平衡度。并作对应平衡处理 */ 
     case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上。要作单左旋处理 */ 
              (*T)->bf=R->bf=EH;
              L_Rotate(T);
              break;
     case LH: /* 新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */ 
              Rl=R->lchild; /* Rl指向T的右孩子的左子树根 */ 
              switch(Rl->bf)
              { /* 改动T及其右孩子的平衡因子 */ 
                case RH: (*T)->bf=LH;
                         R->bf=EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf=R->bf=EH;
                         break;
                case LH: (*T)->bf=EH;
                         R->bf=RH;
                         break;
              }
              Rl->bf=EH;
              R_Rotate(&(*T)->rchild); /* 对T的右子树作右旋平衡处理 */ 
              L_Rotate(T); /* 对T作左旋平衡处理 */ 
    }
}

/* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有同样关键字的结点，则插入一个 */ 
/* 数据元素为e的新结点。并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */ 
/* 失去平衡，则作平衡旋转处理。布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{  
    if(!*T)
    { /* 插入新结点。树“长高”，置taller为TRUE */ 
         *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
         (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH;
         *taller=TRUE;
    }
    else
    {
        if (e==(*T)->data)
        { /* 树中已存在和e有同样关键字的结点则不再插入 */ 
            *taller=FALSE; return FALSE;
        }
        if (e<(*T)->data)
        { /* 应继续在T的左子树中进行搜索 */ 
            if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /* 未插入 */ 
                return FALSE;
            if(taller) /* 已插入到T的左子树中且左子树“长高” */ 
                switch((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */ 
                {
                    case LH: /* 原本左子树比右子树高。须要作左平衡处理 */ 
                            LeftBalance(T); *taller=FALSE; break;
                    case EH: /* 原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */ 
                            (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break;
                    case RH: /* 原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */  
                            (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
                }
        }
        else
        { /* 应继续在T的右子树中进行搜索 */ 
            if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /* 未插入 */ 
                return FALSE;
            if(*taller) /* 已插入到T的右子树且右子树“长高” */ 
                switch((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */ 
                {
                    case LH: /* 原本左子树比右子树高。现左、右子树等高 */ 
                            (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
                    case EH: /* 原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高 */
                            (*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break;
                    case RH: /* 原本右子树比左子树高，须要作右平衡处理 */ 
                            RightBalance(T); *taller=FALSE; break;
                }
        }
    }
    return TRUE;
}

int main(void)
{    
    int i;
    int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
    BiTree T=NULL;
    Status taller;
    for(i=0;i<10;i++)
    {
        InsertAVL(&T,a[i],&taller);
    }
    printf("本例子建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
    return 0;
}