要点

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。

将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

归并排序的基本思想

将待排序序列R[0…n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。

综上可知：

归并排序其实要做两件事：

（1）“分解”——将序列每次折半划分。

（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。

我们先来考虑第二步，如何合并？

在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。

这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。

先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。

为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。

每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。

经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。

核心代码

public 
void Merge(
int[] array, 
int low, 
int mid, 
int high) {

    
int i = low; 
//
 i是第一段序列的下标

    
int j = mid + 1; 
//
 j是第二段序列的下标

    
int k = 0; 
//
 k是临时存放合并序列的下标

    
int[] array2 = 
new 
int[high – low + 1]; 
//
 array2是临时合并序列

    
//
 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束

    
while (i <= mid && j <= high) {

        
//
 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描

        
if (array[i] <= array[j]) {

            array2[k] = array[i];

            i++;

            k++;

        } 
else {

            array2[k] = array[j];

            j++;

            k++;

        }

    }

    
//
 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列

    
while (i <= mid) {

        array2[k] = array[i];

        i++;

        k++;

    }

    
//
 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列

    
while (j <= high) {

        array2[k] = array[j];

        j++;

        k++;

    }

    
//
 将合并序列复制到原始序列中

    
for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {

        array[i] = array2[k];

    }

}

掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解  如何分解。

在某趟归并中，设各子表的长度为gap，则归并前R[0…n-1]中共有n/gap个有序的子表：R[0…gap-1], R[gap…2*gap-1], … , R[(n/gap)*gap … n-1]。

调用Merge将相邻的子表归并时，必须对表的特殊情况进行特殊处理。

若子表个数为奇数，则最后一个子表无须和其他子表归并（即本趟处理轮空）：若子表个数为偶数，则要注意到最后一对子表中后一个子表区间的上限为n-1。 

核心代码

public 
void MergePass(
int[] array, 
int gap, 
int length) {

    
int i = 0;

    
//
 归并gap长度的两个相邻子表

    
for (i = 0; i + 2 * gap – 1 < length; i = i + 2 * gap) {

        Merge(array, i, i + gap – 1, i + 2 * gap – 1);

    }

    
//
 余下两个子表，后者长度小于gap

    
if (i + gap – 1 < length) {

        Merge(array, i, i + gap – 1, length – 1);

    }

}

public 
int[] sort(
int[] list) {

    
for (
int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {

        MergePass(list, gap, list.length);

        System.out.print(“gap = ” + gap + “:\t”);

        
this.printAll(list);

    }

    
return list;

}

算法分析

归并排序算法的性能

时间复杂度

归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log2n)。

空间复杂度

由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。

算法稳定性

在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。

归并排序和堆排序、快速排序的比较

若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。

若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。

若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。 

完整参考代码

Java版本

 1 
package notes.javase.algorithm.sort;

 2 

 3 
public 
class MergeSort {

 4     
public 
void Merge(
int[] array, 
int low, 
int mid, 
int high) {

 5         
int i = low; 
//
 i是第一段序列的下标


 6         
int j = mid + 1; 
//
 j是第二段序列的下标


 7         
int k = 0; 
//
 k是临时存放合并序列的下标


 8         
int[] array2 = 
new 
int[high – low + 1]; 
//
 array2是临时合并序列

 9 


10 
        
//
 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束


11         
while (i <= mid && j <= high) {

12             
//
 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描


13             
if (array[i] <= array[j]) {

14                 array2[k] = array[i];

15                 i++;

16                 k++;

17             } 
else {

18                 array2[k] = array[j];

19                 j++;

20                 k++;

21             }

22         }

23 

24         
//
 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列


25         
while (i <= mid) {

26             array2[k] = array[i];

27             i++;

28             k++;

29         }

30 

31         
//
 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列


32         
while (j <= high) {

33             array2[k] = array[j];

34             j++;

35             k++;

36         }

37 

38         
//
 将合并序列复制到原始序列中


39         
for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {

40             array[i] = array2[k];

41         }

42     }

43 

44     
public 
void MergePass(
int[] array, 
int gap, 
int length) {

45         
int i = 0;

46 

47         
//
 归并gap长度的两个相邻子表


48         
for (i = 0; i + 2 * gap – 1 < length; i = i + 2 * gap) {

49             Merge(array, i, i + gap – 1, i + 2 * gap – 1);

50         }

51 

52         
//
 余下两个子表，后者长度小于gap


53         
if (i + gap – 1 < length) {

54             Merge(array, i, i + gap – 1, length – 1);

55         }

56     }

57 

58     
public 
int[] sort(
int[] list) {

59         
for (
int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {

60             MergePass(list, gap, list.length);

61             System.out.print(“gap = ” + gap + “:\t”);

62             
this.printAll(list);

63         }

64         
return list;

65     }

66 

67     
//
 打印完整序列


68     
public 
void printAll(
int[] list) {

69         
for (
int value : list) {

70             System.out.print(value + “\t”);

71         }

72         System.out.println();

73     }

74 

75     
public 
static 
void main(String[] args) {

76         
int[] array = {

77                 9, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 8, 7

78         };

79 

80         MergeSort merge = 
new MergeSort();

81         System.out.print(“排序前:\t\t”);

82         merge.printAll(array);

83         merge.sort(array);

84         System.out.print(“排序后:\t\t”);

85         merge.printAll(array);

86     }

87 }
View Code

运行结果 

排序前:     9   1   5   3   4   2   6   8   7  

gap = 1:   1   9   3   5   2   4   6   8   7  

gap = 2:   1   3   5   9   2   4   6   8   7  

gap = 4:   1   2   3   4   5   6   8   9   7  

gap = 8:   1   2   3   4   5   6   7   8   9  

排序后:     1   2   3   4   5   6   7   8   9  

参考资料

《数据结构习题与解析》（B级第3版） 

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示例源码：https://github.com/dunwu/algorithm-notes