From 苏叔叔
图的遍历：深度优先、广度优先
遍历
图的遍历是指从图中的某一顶点出发，按照一定的策略访问图中的每一个顶点。当然，每个顶点有且只能被访问一次。
在图的遍历中，深度优先和广度优先是最常使用的两种遍历方式。这两种遍历方式对无向图和有向图都是适用的，并且都是从指定的顶点开始遍历的。先看下两种遍历方式的遍历规则：
深度优先
深度优先遍历也叫深度优先搜索(Depth First Search)。它的遍历规则：不断地沿着顶点的深度方向遍历。顶点的深度方向是指它的邻接点方向。
具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，则下一个遍历的顶点是V0的第一个邻接点Vi，接着遍历Vi的第一个邻接点Vj，……直到所有的顶点都被访问过。
所谓的第一个是指在某种存储结构中(邻接矩阵、邻接表)，所有邻接点中存储位置最近的，通常指的是下标最小的。在遍历的过程中有两种情况经常出现
- 某个顶点的邻接点都已被访问过的情况，此时需回溯已访问过的顶点。
- 图不连通，所有的已访问过的顶点都已回溯完了，仍找不出未被访问的顶点。此时需从下标0开始检测visited[i]，找到未被访问的顶点i，从i开始新一轮的深度搜索。
看一个例子
从V0开始遍历 遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，选择下标最小的V1遍历。接着从V1开始深度遍历，V1只有邻接点V3，也就是没有选的：遍历V3。接着从V3开始遍历，V3只有邻接点V0，而V0已经被遍历过。此时出现了上面提到的情况一，开始回溯V1，V1无未被遍历的邻接点，接着回溯V0，V0有一个未被遍历的邻接点V2，新的一轮深度遍历从V2开始。V2无邻接点，且无法回溯。此时出现了情况二，检测visited[i]，只有V4了。深度遍历完成。看到回溯，应该可以想到需要使用栈。 遍历序列是 V0->V1->V3->V2->V4。 从其它顶点出发的深度优先遍历序列是： V1->V3->V0->V2->V4。 V2->V0->V1->V3->V4。 V3->V0->V1->V2->V4。 V4->V2->V0->V1->V3。 以上结果，我们稍后用于测试程序。 结合在图的实现：邻接矩阵中的代码，我们看下在邻接矩阵形式下的图的深度遍历算法：
深度优先代码
1 /* 2 深度优先搜索 3 从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针 4 */ 5 void Graph::dfs(int vertex, void (*visit)(int)) 6 { 7 stack<int> s; 8 //visited[i]用于标记顶点i是否被访问过 9 bool *visited = new bool[numV]; 10 //count用于统计已遍历过的顶点数 11 int i, count; 12 for (i = 0; i < numV; i++) 13 visited[i] = false; 14 count = 0; 15 while (count < numV) 16 { 17 visit(vertex); 18 visited[vertex] = true; 19 s.push(vertex); 20 count++; 21 if (count == numV) 22 break; 23 while (visited[vertex]) 24 { 25 for (i = 0; i < numV 26 && (visited[i] 27 || matrix[vertex][i] == 0 || matrix[vertex][i] == MAXWEIGHT); i++); 28 if (i == numV) //当前顶点vertex的所有邻接点都已访问完了 29 { 30 if (!s.empty()) 31 { 32 s.pop(); //此时vertex正是栈顶，应先出栈 33 if (!s.empty()) 34 { 35 vertex = s.top(); 36 s.pop(); 37 } 38 else //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点 39 { 40 for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++); 41 } 42 } 43 else //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点 44 { 45 for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++); 46 } 47 } 48 else //找到新的顶点应更新当前访问的顶点vertex 49 vertex = i; 50 } 51 } 52 delete[]visited; 53 }
其它代码前面已经见过，就不给出了，下面看下图的广度遍历。深度遍历和广度遍历的测试，稍后一并给出。
广度优先
广度优先遍历也叫广度优先搜索(Breadth First Search)。它的遍历规则：
- 先访问完当前顶点的所有邻接点。(应该看得出广度的意思)
- 先访问顶点的邻接点先于后访问顶点的邻接点被访问。
具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，且顶点V0的邻接点下表从小到大有Vi、Vj…Vk。按规则1，接着应遍历Vi、Vj和Vk。再按规则2，接下来应遍历Vi的所有邻接点，之后是Vj的所有邻接点，…，最后是Vk的所有邻接点。接下来就是递归的过程… 在广度遍历的过程中，会出现图不连通的情况，此时也需按上述情况二来进行：测试visited[i]…。在上述过程中，可以看出需要用到队列。 举个例子，还是同样一幅图：
从V0开始遍历 遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，于是按序遍历V1、V2。V1先于V2被访问，于是V1的邻接点应先于V2的邻接点被访问，那就是接着访问V3。V2无邻接点，只能看V3的邻接点了，而V0已被访问过了。此时需检测visited[i]，只有V4了。广度遍历完毕。
遍历序列是 V0->V1->V2->V3->V4。 从其它顶点出发的广度优先遍历序列是 V1->V3->V0->V2->V4。 V2->V0->V1->V3->V4。 V3->V0->V1->V2->V4。 V4->V2->V0->V1->V3。 以上结果，我们同样用于测试程序。 在邻接矩阵下，图的广度遍历算法
广度优先代码
1 /* 2 广度优先搜索 3 从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针 4 */ 5 void Graph::bfs(int vertex, void(*visit)(int)) 6 { 7 //使用队列 8 queue<int> q; 9 //visited[i]用于标记顶点i是否被访问过 10 bool *visited = new bool[numV]; 11 //count用于统计已遍历过的顶点数 12 int i, count; 13 for (i = 0; i < numV; i++) 14 visited[i] = false; 15 q.push(vertex); 16 visit(vertex); 17 visited[vertex] = true; 18 count = 1; 19 while (count < numV) 20 { 21 if (!q.empty()) 22 { 23 vertex = q.front(); 24 q.pop(); 25 } 26 else 27 { 28 for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++); 29 visit(vertex); 30 visited[vertex] = true; 31 count++; 32 if (count == numV) 33 return; 34 q.push(vertex); 35 } 36 //代码走到这里，vertex是已经访问过的顶点 37 for (int i = 0; i < numV; i++) 38 { 39 if (!visited[i] && matrix[vertex][i] > 0 && matrix[vertex][i] < MAXWEIGHT) 40 { 41 visit(i); 42 visited[i] = true; 43 count ++; 44 if (count == numV) 45 return; 46 q.push(i); 47 } 48 } 49 } 50 delete[]visited; 51 }
结合两种遍历的代码，我们对同一幅图进行测试，它的主函数是
1 void visit(int vertex) 2 { 3 cout << setw(4) << vertex; 4 } 5 int main() 6 { 7 cout << "******图的遍历：深度优先、广度优先***by David***" << endl; 8 bool isDirected, isWeighted; 9 int numV; 10 cout << "建图" << endl; 11 cout << "输入顶点数 "; 12 cin >> numV; 13 cout << "边是否带权值，0(不带) or 1(带) "; 14 cin >> isWeighted; 15 cout << "是否是有向图，0(无向) or 1(有向) "; 16 cin >> isDirected; 17 Graph graph(numV, isWeighted, isDirected); 18 cout << "这是一个"; 19 isDirected ? cout << "有向、" : cout << "无向、"; 20 isWeighted ? cout << "有权图" << endl : cout << "无权图" << endl; 21 graph.createGraph(); 22 cout << "打印邻接矩阵" << endl; 23 graph.printAdjacentMatrix(); 24 cout << endl; 25 cout << "深度遍历" << endl; 26 for (int i = 0; i < numV; i++) 27 { 28 graph.dfs(i, visit); 29 cout << endl; 30 } 31 cout << endl; 32 cout << "广度遍历" << endl; 33 for (int i = 0; i < numV; i++) 34 { 35 graph.bfs(i, visit); 36 cout << endl; 37 } 38 system("pause"); 39 return 0; 40 }
运行
仔细对照测试结果，我们的代码是没有问题的。
小结
对于某个图来说，深度优先遍历和广度优先遍历的序列不是唯一的，但当图的存储结构一确定，它的遍历序列就是唯一的。因为当有多个候选点时，我们总是优先选择下标最小的。
