AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
层次分析法的基本思路：先分解后综合
首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。
用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：
（1）建立层次结构模型；
（2）构造判断矩阵；
（3）层次单排序；
（4）一致性检验；
（5）层次总排序。
其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
以下是一个情景案例：
假期你想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：
古风古韵的西安（P1）；
天府之国的成都（P2）；
如诗如画的杭州（P3）。
假如选择的标准和依据（行动方案准则）有5个：
景色，费用，饮食，居住和旅途。
则常规思维的方式一般是：
1、先确定这些准则在心中的各自占比的大小；
2、然后就每一准则将三个地点进行比较；
3、最后将这两个层次的比较判断进行综合，做出选择。
以下是根据分析思路构建的层次分析法结构模型：
以上结构模型中，我们需要比较准侧层各个准则相对于目标的权重，同时也要比较方案层各个方案相对于准侧层每一个准则的权重。
权重的判断建立在专家打分的基础上，即通过一组打分标准，来赋予单层各个指标的相对权重。
这里的打分机制使用1~9标度法：
1代表两个元素相比，具有相同的重要性；
3代表两个元素相比，前者比后者稍重要；
5代表两个元素相比，前者比后者明显重要；
7代表两个元素相比，前者比后者极其重要；
9代表两个元素相比，前者比后者强烈重要
2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值。
以上准则层的5个指标依次是：
景色：C1
费用：C2
居住：C3
饮食：C4
旅途：C5
相对于目标层：选择旅游地，进行两两比较打分。
景色 费用 居住 饮食 旅途
C1 C2 C3 C4 C5
C1 1 1/2 4 3 3
C2 2 1 7 5 5
C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3
C4 1/3 1/5 2 1 1
C5 1/3 1/5 2 1 1
构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵
相对于景色
P1 p2 p3
P1 1 2 5
P2 1/2 1 2
P3 1/5 1/2 1
相对于费用
P1 p2 p3
P1 1 1/3 1/8
P2 3 1 1/3
P3 8 3 1
相对于居住
P1 p2 p3
P1 1 1 3
P2 1 1 3
P3 1/3 1/3 1
相对于饮食
P1 p2 p3
P1 1 3 4
P2 1/3 1 1
P3 1/4 1 1
相对于旅途
P1 P2 P3
P1 1 1 1/4
P2 1 1 1/4
P3 4 4 4
以下是整个层次分析法的整个建模流程：
#清空R语言环境内存
rm(list = ls())
gc()
#加载包
library("readxl")
library("dplyr")
library("magrittr")
准则层：
C1——景色
C2——费用
C3——居住
C4——饮食
C5——旅途
方案层：
P1——西安
P2——成都
P3——杭州
准则层与方案层的判定矩阵:（专（hu）家 (luan) 打 (tian) 分 (xie) ）
#准则层判断矩阵
data_C <- matrix(
c(1,2,1/4,1/3,1/3,1/2,1,1/7,1/5,1/5,4,7,1,2,3,3,5,1/2,1,1,3,5,1/3,1,1),
nrow = 5,
dimnames = list(c("C1","C2","C3","C4","C5"),c("C1","C2","C3","C4","C5"))
)
#景色判断矩阵
data_B1 <- matrix(
c(1,1/2,1/5,2,1,1/2,5,2,1),
nrow = 3,
dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3"))
)
#费用判断矩阵
data_B2 <- matrix(
c(1,3,8,1/3,1,3,1/8,1/3,1),
nrow = 3,
dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3"))
)
#居住判断矩阵
data_B3 <- matrix(
c(1,1,1/3,1,1,1/3,3,3,1),
nrow = 3,
dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3"))
)
#饮食判断矩阵
data_B4 <- matrix(
c(1,1/3,1/4,3,1,1,4,1,1),
nrow = 3,
dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3"))
)
#路途判断矩阵
data_B5 <- matrix(
c(1,1,4,1,1,4,1/4,1/4,1),
nrow = 3,
dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3"))
)
准侧层判别过程：
1、判断矩阵归一化：
Weigth_fun <- function(data){
if(class(data) == 'matrix'){
data = data
} else {
if ( class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data) - 1 & is.character(data[,1,drop = TRUE])){
data = as.matrix(data[,-1])
} else if (class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data)) {
data = as.matrix(data)
} else {
stop('please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col')
}
}
sum_vector_row = data %>% apply(2,sum)
decide_matrix = data %>% apply(1,function(x) x/sum_vector_row)
weigth_vector = decide_matrix %>% apply(2,sum)
result = list(decide_matrix = decide_matrix, weigth_vector = weigth_vector/sum(weigth_vector ))
return(result)
}
Weigth_fun(data_C)
2、输出特征向量λ
AW_Weight <- function(data){
if(class(data) == 'matrix'){
data = data
} else {
if ( class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data) - 1 & is.character(data[,1,drop = TRUE])){
data = as.matrix(data[,-1])
} else if (class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data)) {
data = as.matrix(data)
} else {
stop('please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col')
}
}
AW_Vector = data %*% Weigth_fun(data)$weigth_vector
λ = (AW_Vector/Weigth_fun(data)$weigth_vector) %>% sum(.) %>% `/`(length(AW_Vector))
result = list(
AW_Vector = AW_Vector,
`∑AW/W` = AW_Vector/Weigth_fun(data)$weigth_vector,
λ = λ
)
return(result)
}
AW_Weight(data_C)
3、一致性检验：
Consist_Test <- function(λ,n){
RI_refer = c(0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54)
CI = (λ - n)/(n - 1)
CR = CI/(RI_refer[n])
if (CR <= .1){
cat(" 通过一致性检验！",sep = "\n")
cat(" Wi: ", round(CR,4), "\n")
} else {
cat(" 请调整判断矩阵！","\n")
} return(CR)
}
Consist_Test(AW_Weight(data_C)$λ,5)
通过一致性检验！
Wi: 0.0163
[1] 0.01627942
OutPut:
(利用上述各步代码，将准则层、方案层的所有权重向量、特征值及一致性检验结果输出)
#准则层：
rule_Weigth_C <- Weigth_fun(data_C)$weigth_vector #准则层特征向量
rule_λ_C <- AW_Weight(data_C)$λ #准则层特征值
CR_C <- Consist_Test(AW_Weight(data_C)$λ,5) #准则层一致性检验：
rule_Weigth_C1 <- Weigth_fun(data_B1)$weigth_vector #方案层(for C1)特征向量
rule_Weigth_C2 <- Weigth_fun(data_B2)$weigth_vector #方案层(for C2)特征向量
rule_Weigth_C3 <- Weigth_fun(data_B3)$weigth_vector #方案层(for C3)特征向量
rule_Weigth_C4 <- Weigth_fun(data_B4)$weigth_vector #方案层(for C4)特征向量
rule_Weigth_C5 <- Weigth_fun(data_B5)$weigth_vector #方案层(for C5)特征向量
scheme_λ_C1 <- AW_Weight(data_B1)$λ #方案层(for C1)特征值
scheme_λ_C2 <- AW_Weight(data_B2)$λ #方案层(for C2)特征值
scheme_λ_C3 <- AW_Weight(data_B3)$λ #方案层(for C3)特征值
scheme_λ_C4 <- AW_Weight(data_B4)$λ #方案层(for C4)特征值
scheme_λ_C5 <- AW_Weight(data_B5)$λ #方案层(for C5)特征值
CR_C1 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B1)$λ,3) #方案层(for C1)一致性检验
CR_C2 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B2)$λ,3) #方案层(for C2)一致性检验
CR_C3 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B3)$λ,3) #方案层(for C3)一致性检验
CR_C4 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B4)$λ,3) #方案层(for C4)一致性检验
CR_C5 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B5)$λ,3) #方案层(for C5)一致性检验
层次总排序：
all_matrix <- matrix(c(rule_Weigth_C1,rule_Weigth_C2,rule_Weigth_C3,rule_Weigth_C4,rule_Weigth_C5),nrow = 3)
decide_result <- all_matrix %*% rule_Weigth_C
dimnames(decide_result) <- list(c("P1","P2","P3"),"score")
score
P1 0.2990074
P2 0.2454134
P3 0.4555792
P3(杭州) > p1（西安） > P2（成都）
最终决策结果显示，我们应该去的地方推荐优先级分别为：杭州 > 西安 > 成都
备注（因为打分数据是虚构的，所以并没有任何决策价值）
Python:
（备注：这里只给出使用Python构造模型的工具代码，具体判定过程需要自己操作）
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
import time
import numpy as np
import pandas as pd
import os
from scrapy.exceptions import DropItem
np.random.seed(233333)
os.chdir('D:/R/File')
#！！！
#温馨提示，这里的函数是基于pandas数据框，
#如果直接构造的矩阵数组，需要微调代码！
#判定矩阵归一化
def Weight(data):
if data.shape[0] == data.shape[1] - 1 and data.iloc[:,0].dtype == 'object':
data = data.iloc[:,1:]
data.index = data.columns
elif data.shape[0] == data.shape[1]:
data.index = data.columns
else:
raise DropItem("please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col")
weigth_matrix = data.loc[:,].values
weight_vector = weigth_matrix/np.sum(data.loc[:,].values,0)
sum_vector_col = weight_vector.sum(axis = 1)
return {
"weigth_matrix":weigth_matrix,
"weight_vector":sum_vector_col/sum_vector_col.sum()
}
Weight(mydata)["weigth_matrix"]
Weight(mydata)["weight_vector"]
#计算权重矩阵与特征值、特征向量
def AW_Weight(data):
if data.shape[0] == data.shape[1] - 1 and data.iloc[:,0].dtype == 'object':
data = data.iloc[:,1:]
data.index = data.columns
elif data.shape[0] == data.shape[1]:
data.index = data.columns
else:
raise DropItem("please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col")
AW_Vector = np.dot(data.values,Weight(mydata)["weight_vector"])
λ = (AW_Vector/Weight(mydata)["weight_vector"]).sum()/len(AW_Vector)
return dict(
AW_Vector = AW_Vector,
AW_Vector_w = AW_Vector/Weight(mydata)["weight_vector"],
λ = λ
)
AW_Weight(mydata)["AW_Vector"]
AW_Weight(mydata)["AW_Vector_w"]
AW_Weight(mydata)["λ"]
#一致性检验
def Consist_Test(λ,n):
RI_refer = [0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54]
CI = (λ - n)/(n - 1)
CR = CI/(RI_refer[n-1])
if (CR <= 0.1):
print(" 通过一致性检验！")
print(" Wi: ", np.round(CR,4))
else:
print(" 请调整判断矩阵！","\n")
return np.round(CR,4)
层次分析法虽然在多目标决策上可以很好地将定性决策定量化，但越是完美无缺的：
1~9标准打分机制是否合理（因为几乎很难区别出临界两个分值之间的区别）
专家打分如何保证专家基于同一样的评分尺度、客观公允不划水，这些都是问题。
没有完美无缺的模型，还是要具体问题具体分析，多方案交叉验证效果！
参考资料：
《层次分析法原理》——章牧
