问题引入：售票系统问题
假设在一个火车线路上有五个车站，它们分别在A、B、C、D、E五座城市(因此区间数 )。售票部门出售所能的车票，即起始站和终点站是任意的。由于城市之间距离较长，售票部分希望每位乘客都有座位，设总座位数是
。在处理新的订单请求时，机智的程序员怎么最快地判断是否还有余座呢？
拍脑袋给出的算法
开一个 维的数组，分别存储A-B, B-C, C-D, D-E段的乘客数，每当新订单出现时，就更新相应的区间，只要
个数都小于乘客数
(等价地，
个数中最大数小于乘客数
), 就安排乘客上这趟车，否则告诉乘客余票不足。
每新添加一个订单，需要重新找 个数中的最大数，因此计算复杂度是
。这是最好的算法吗？
问题的分析
- 售票系统是一个在线的系统，会有源源不断的新数据(新订单)涌入，因此保留历史的中间变量可能会加速算法。
- 车站具有顺序性。其次，一个顾客的乘坐区间只能是连续的，即他不可能在A站上火车，B站下火车，又在D站上同一趟火车，最后在E站下了车。
线段树长神马样子？
仍然从售票系统例子出发。一开始售票数为0时，线段树长这样（图1）：
基本特点容易看出：这是一个二叉树，在每个节点处，一个区间被分成了左、右两个区间。在每个节点和叶子处，都有一个伴随数字，这个数字代表这个区间的乘车人数(这么说不严谨，具体怎么更新，请大家耐着性子再往后看2333)。
首先打北边来了个小饶同学，他的乘车区间是B-C, B-C就是叶节点，线段树更新为（图2）：
然后打南边来了个小鸣同学，他的乘车区间是B-D, 注意B-D=B-C+C-D, 而B-C和C-D是叶节点，线段树更新为（图3）：
一直到现在都十分正常，和拍脑袋给出的算法一样。
这时急匆匆来了个小迪同学，他的乘车区间是A-D, A-D=A-C+C-D, C-D是叶节点这个没问题，但A-C是一个中间节点，现在有两种看法：
- 继续往下拆，A-C=A-B+B-C， 更新A-B 和B-C区间
- 保持整体， 更新A-C区间，线段树的哲♂学要求我们选择这种更新策略，如图4所示。
最后来了个小承同学，他买了张全程票，即A-E, 注意到A-E恰好就是根，于是不必往下拆了，更新A-E即可，如图5所示。按照拍脑袋给出的算法，等价的结果应该如图5′ 所示。
是骡子是马，拉出来溜溜了。我们需要知道区间的最多人数，从叶节点出发，我们可以算出所有区间人数的最大值（因为有 ）。如下图所示：
两种办法求出的最大值都是4，可以说明线段树和拍脑袋方法的等价性。好了，线段树学习结束了。exm？？？那线段树优势在哪呢？
为什么线段树？
更新(添加新订单)
- 对于拍脑袋的办法，需要
的运算量
- 对于线段树，只需要
的运算量，严格的上界是
- 简单地理解，当一个区间恰好等于一个节点（而不必是叶节点），更新即可完成
查询(计算所有区间的最多乘客数)
- 对于拍脑袋的办法，采用打擂法求最大值，需要
- 对于线段树，利用了树的结构，还是需要
所以线段树的优势，主要还是体现在在线(online)的问题上。
一般的线段树
博客：这里有严格定义和相应的实现代码
【数据结构系列】线段树(Segment Tree) www.cnblogs.com
维基：这里是一般的线段树定义
