各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度

 

 

《各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度》

 

其中冒泡排序加个标志,所以最好情况下是o(n)

 直接选择排序:

排序过程:

     1 、首先在所有数据中经过 n-1次比较选出最小的数,把它与第 1个数据交换,

       2、然后在其余的数据内选出排序码最小的数,与第 2个数据交换…… 依次类推,直到所有数据排完为止。

         在第i 趟排序中选出最小关键字的数据,需要做 n-i次比较。

//冒泡排序,大的数不断向后冒泡
void buddle(vector<int>& nums)
{
    int len=nums.size();
    for(int i=0;i<len-1;i++)
    {
        for(int j=0;j<len-1-i;j++)
        {
            if(nums[j]>nums[j+1])
                swap(nums[j],nums[j+1]);
        }
    }
    
}

  

线性排序算法

计数排序

假设:有n个数的集合,而且n个数的范围都在0~k(k = O(n))之间。

运行时间:Θ(n+k)

《各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度》

待排序数组A如图2.1所示,需要辅助数组B(存储最后排序结果),数组C(存储元素的个数)。基于上述的假设,数组C的大小为k,C[i]表示数组A中元素i(0 <= i < k)的个数(如图2.2所示),为了保证计数排序的稳定性,数组C变化为图2.3,C[i]表示小于或者等于i的个数。代码如下:

   1: /*
   2:     输入:待排序数组A,存储排序后的数组B,数组A的大小,数组C的大小
   3:     功能:计数排序
   4: */
   5: void CountingSort(int A[], int B[], int len, int k)
   6: {
   7:     int *CountArr = new int[k];
   8:     int i;
   9:     for (i = 0; i < k; i++)
  10:     {
  11:         CountArr[i] = 0;
  12:     }
  13:  
  14:     for (i = 0; i < len; i++)
  15:     {
  16:         CountArr[A[i]]++;                
  17:     }
  18:  
  19:     for (i = 1; i < k; i++)
  20:     {
  21:         CountArr[i] += CountArr[i-1];
  22:     }
  23:  
  24:     // 从右至左保证算法的稳定性
  25:     for (i = len-1; i >=0; i--)
  26:     {
  27:         B[CountArr[A[i]]-1] = A[i];
  28:         CountArr[A[i]]--;
  29:     }
  30: }

9-12行和19-22行的运行时间Θ(k),14-17行和25-29行的运行时间为Θ(n),所以总的运行时间为Θ(2(n+k)) = Θ(n+k)。

基数排序

基数排序:将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度,数位较短的数前面补零。然后,从最低位开始,依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后, 数列就变成一个有序序列。

基数排序分为两种LSD和MSD。

LSD(Least significant digital):最低有效位优先,即从右向左开始排序。

MSD(Most significant digital):最高有效位优先,即从左往右开始排序。

以下是LSD方式的基数排序的伪代码

   1: RadixSort(A,d)
   2:     for i <- 1 to d
   3:         用稳定的排序算法排列数组A中元素的第i位

《各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度》

如图3:先牌个位,然后十位,最后百位。为数组的某一位排序的时候一定需要稳定的算法。

运行时间为Θ(d(n+k))。在基数排序中排列数组各位的算法是计数排序所以运行时间为Θ(n+k),又d是数组中数的最大位数。

 

桶排序

桶排序:将数组分到有限个桶子内,然后再对桶子里面的序列进行排序,运行时间Θ(n)。桶排序基于一个假设:输入的数据由随机过程构成,否则在最坏情况下都分配到一个桶子里面,如果又不满足计数排序的假设要求,那么只能使用基于比较的排序算法进行排序,运行时间就退化到Ω(nlogn)。

排序算法稳定性

排序算法稳定性:假设待排序序列中有两个元素相等,而且在排序前和排序后两个相等的元素的相对位置不变,即有 a = b,排序前a在b前面,那么排序后,a还是要在b前面。排序算法的稳定性是要看具体的算法实现,比如一般情况下,直接选择排序,快速排序,希尔排序,堆排序都不是稳定排序算法,基数排序,计数排序,归并排序,插入排序,冒泡排序都是稳定排序算法。

快速排序:A = {2, 2, 1},排序后A = {1,2,2}。

希尔排序:A = {1,2,5,4,4,7},排序后(k = 2);A = {1, 2, 4, 4, 5, 7} 。

堆排序:A = {2,2,1},排序后A = {1,2, 2}。

直接选择排序: A = {4, 4, 2, 5},排序后 A = {2,4, 4, 5}。

以上举例都不满足稳定性。

 

   

 

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线性排序算法

计数排序

假设:有n个数的集合,而且n个数的范围都在0~k(k = O(n))之间。

运行时间:Θ(n+k)

《各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度》

待排序数组A如图2.1所示,需要辅助数组B(存储最后排序结果),数组C(存储元素的个数)。基于上述的假设,数组C的大小为k,C[i]表示数组A中元素i(0 <= i < k)的个数(如图2.2所示),为了保证计数排序的稳定性,数组C变化为图2.3,C[i]表示小于或者等于i的个数。代码如下:

   1: /*
   2:     输入:待排序数组A,存储排序后的数组B,数组A的大小,数组C的大小
   3:     功能:计数排序
   4: */
   5: void CountingSort(int A[], int B[], int len, int k)
   6: {
   7:     int *CountArr = new int[k];
   8:     int i;
   9:     for (i = 0; i < k; i++)
  10:     {
  11:         CountArr[i] = 0;
  12:     }
  13:  
  14:     for (i = 0; i < len; i++)
  15:     {
  16:         CountArr[A[i]]++;                
  17:     }
  18:  
  19:     for (i = 1; i < k; i++)
  20:     {
  21:         CountArr[i] += CountArr[i-1];
  22:     }
  23:  
  24:     // 从右至左保证算法的稳定性
  25:     for (i = len-1; i >=0; i--)
  26:     {
  27:         B[CountArr[A[i]]-1] = A[i];
  28:         CountArr[A[i]]--;
  29:     }
  30: }

9-12行和19-22行的运行时间Θ(k),14-17行和25-29行的运行时间为Θ(n),所以总的运行时间为Θ(2(n+k)) = Θ(n+k)。

基数排序

基数排序:将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度,数位较短的数前面补零。然后,从最低位开始,依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后, 数列就变成一个有序序列。

基数排序分为两种LSD和MSD。

LSD(Least significant digital):最低有效位优先,即从右向左开始排序。

MSD(Most significant digital):最高有效位优先,即从左往右开始排序。

以下是LSD方式的基数排序的伪代码

   1: RadixSort(A,d)
   2:     for i <- 1 to d
   3:         用稳定的排序算法排列数组A中元素的第i位

《各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度》

如图3:先牌个位,然后十位,最后百位。为数组的某一位排序的时候一定需要稳定的算法。

运行时间为Θ(d(n+k))。在基数排序中排列数组各位的算法是计数排序所以运行时间为Θ(n+k),又d是数组中数的最大位数。

 

桶排序

桶排序:将数组分到有限个桶子内,然后再对桶子里面的序列进行排序,运行时间Θ(n)。桶排序基于一个假设:输入的数据由随机过程构成,否则在最坏情况下都分配到一个桶子里面,如果又不满足计数排序的假设要求,那么只能使用基于比较的排序算法进行排序,运行时间就退化到Ω(nlogn)。

排序算法稳定性

排序算法稳定性:假设待排序序列中有两个元素相等,而且在排序前和排序后两个相等的元素的相对位置不变,即有 a = b,排序前a在b前面,那么排序后,a还是要在b前面。排序算法的稳定性是要看具体的算法实现,比如一般情况下,直接选择排序,快速排序,希尔排序,堆排序都不是稳定排序算法,基数排序,计数排序,归并排序,插入排序,冒泡排序都是稳定排序算法。

快速排序:A = {2, 2, 1},排序后A = {1,2,2}。

希尔排序:A = {1,2,5,4,4,7},排序后(k = 2);A = {1, 2, 4, 4, 5, 7} 。

堆排序:A = {2,2,1},排序后A = {1,2, 2}。

直接选择排序: A = {4, 4, 2, 5},排序后 A = {2,4, 4, 5}。

以上举例都不满足稳定性。

 

    原文作者:simple_wxl
    原文地址: https://www.cnblogs.com/wuxiangli/p/6399266.html
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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