题目：给定数组A，大小为n,数组元素为0到n-1的数字，不过有的数字出现了多次，有的数字没有出现。请给出算法和程序，统计哪些数字没有出现，哪些数字出现了多少次。要求在O(n)的时间复杂度，O(1)的空间复杂度下完成。
问题的难点在于时间和空间复杂度。O(1)的空间含义，可以使用变量，但不能开辟数组或者map等来计数。
解法一：直接用两层遍历，O(n^2)的时间复杂度，O(1)的空间复杂度。效率太低.
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int n, i, j, count = 0; //n is The length of the Array while (scanf("%d", &n) != EOF) { int *a = malloc(sizeof(int) * n); for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); for (i = 0; i < n; i++) { count = 0; for (j = 0; j < n; j++) { if (i == a[j]) { count++; } } if (count == 0) printf("%d does not appear in the array!\n", i); else printf("%d appear in the array for %d times\n", i, count); } } }
解法而：用map来存储元素和其对于的个数。明显时间复杂度为O(N),空间为O(n),不满足要求。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> int main() { int n, i, j, count = 0; //n is The length of the Array while (scanf("%d", &n) != EOF) { int *a = malloc(sizeof(int) * n); int *map = malloc(sizeof(int) *n); memset(map, 0, sizeof(map)); for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); for (i = 0; i < n; i++) { map[a[i]]++; } for (i = 0; i < n; i++) { if (map[i] == 0) printf("%d does not appear in the array!\n", i); else printf("%d appear in the array for %d times\n", i, map[i]); } } }
但上述解法都不满足题目对时间复杂度和空间复杂度的要求，因此我们想到重复利用数组A。
解法三：
我们要注意一个条件：
数组A，大小为n,数组元素为0到n-1的数字， 元素都不超过n,google有一道面试题就是利用这个特性，大小为n的数组，元素都是
0-n直接的整数，看是否重复。以前写的:http://www.cnblogs.com/youxin/p/3297788.html).
这个很重要。
三次遍历数组的方法：
第一次遍历：对于每一个A[i] = A[i] * n
第二次遍历：对于每一个i, A[A[i]/n]++
第三次遍历：对于每一个i,A[i]%n就是i出现的次数
解释：A[i]应该出现在A中的A[i]位置，乘以n、再除以n,很容易来回变换；第二次遍历，对于A[i]本来所在的位置不断增1，但绝不超出n，那么每一个i出现的次数，就是A[I]对n取余。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int n, i; //n is The length of the Array while (scanf("%d", &n) != EOF) { int *a = malloc(sizeof(int) * n); for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); for (i = 0; i < n; i++) a[i] = a[i] * n; for (i = 0; i < n; i++) a[a[i]/n]++; for (i = 0; i < n; i++) { if (a[i] % n == 0) printf("%d does not appear in the array!\n", i); else printf("%d appear in the array for %d times\n", i, a[i]%n); } } }
结果:
4
2 3 1 2
0没有出现
1 出现次数：1
2 出现次数：2
3 出现次数：1
4
1 2 2 2
0没有出现
1 出现次数：1
2 出现次数：3
3没有出现
分析:假设输入为2 3 1 2
0 1 2 3
2 3 1 2 a[i]=a[i]*n后为
8 12 4 8
a[a[i]/n]++;操作
i=0; a[2]=9
i=1 a[3]=5;
i=2 a[1]=13
i=3 a[2]=9+1=10
a[0]还是原来的8.
判断次数a[i]%n
a[0]:8 % 4=0 所以没出现
a[1]:13%4=1 出现1次
a[2]:10%8=2 出现2次
a[3]:5%4=1出现1次
一开始我很难理解为什么
要：
a[i] = a[i] * n;
接着a[a[i]%n]++;
而不是a[a[i]]++;
这是为了后面判断a[i]%n是否为0.
解法四：
两次遍历数组的方法：考虑A[i]，现在的位置为i,如果采用A来计数，它的位置应该是A[i]%n,找到计数位置，处理这个计数位置的办法就是加n.
第一次遍历：对A[i]的计算位置加n,加n可以保证A[i]%n的是不变的
第二次遍历：A数组，最后每一个元素表示为A[i] = x + k * n; 其中x<n,并且k就是我们要统计的频率
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int n, i; //n is The length of the Array while (scanf("%d", &n) != EOF) { int *a = malloc(sizeof(int) * n); for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); for (i = 0; i < n; i++) a[a[i] % n] += n; for (i = 0; i < n; i++) { if (a[i] / n == 0) printf("%d does not appear in the array!\n", i); else printf("%d appear in the array for %d times\n", i, a[i]/n); } } }
解法四：
还有一种两次遍历的方法，也是上面的思路：题目中数组是1到n，为了方便算法考虑，以及数组存储方便，我们考虑0-n-1，结果是相同的。 考虑A[i]，现在位置是i，如果采用A来计数，它的位置应该是A[i] % n，找到计数位置，该如何处理这个位置呢？加1么？显然不可以，这里有一个技巧,方法如下:
第一次遍历：对A[i]的计算位置加n,加n可以保证A[i]%n的是不变的
第二次遍历：A数组，最后每一个元素表示为A[i] = x + k * n; 其中x<n,并且k就是我们要统计的频率
上面的思路，转换为代码如下：
void repeat(int a[],int n) { int i=0; for(i=0;i<n;i++) a[a[i]%n] += n; for(i=0;i<n;i++) { int frequency=a[i]/n; cout<<i<<"-->"<<frequency<<endl; } }
分析：输入：
0 1 2 3 （i序号)
2 3 1 2
i=0; a[2]=2+n;
i=1; a[3]=1+n;
i=2; a[1]=3+n;
i=3 a[2]=2+n+n;
参考:http://blog.csdn.net/buaa_shang/article/details/10516135
