【数据结构第五周】图（上）

2019年2月25日 421次阅读来源: Summer先生

1、什么是图

表示多对多的关系

包含一组顶点：通常用V（Vertex）表示顶点集合

一组边：通常用E（Edge）表示边的集合

2、抽象数据类型定义

类型名称:图(Graph)

数据对象集:G(V,E)由一个非空的有限顶点集合V和一个有限边集合E组成。

操作集:对于任意图G 属于 Graph,以及v 属于 V,e 属于 E

Graph Create():建立并返回空图;

Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v):将v插入G;

Graph InsertEdge(Graph G, Edge e):将e插入G;

void DFS(Graph G, Vertex v):从顶点v出发深度优先遍历图G;

void BFS(Graph G, Vertex v):从顶点v出发宽度优先遍历图G;

void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[]):计算图G中顶点v到任意其他顶点的最短距离;

void MST(Graph G):计算图G的最小生成树;

3、用邻接矩阵表示一个图

邻接矩阵G[N][N]——N个顶点从0到N-1编号

G[i][j] =1 若<vi,vj>是G中的边，否则，G[i][j] =0

Q：对于无向图的存储,怎样可以省一半空间?

A：

用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储 {G00,G10,G11,……,Gn-1 0,…,Gn-1 n-1},

则Gij在A中对应的下标是: (i*(i+1)/2+j)

对于网络,只要把G[i][j]的值定义为边<vi ,vj >的权重即可。

邻接矩阵的好处：

直观、简单、好理解

方便检查任意一对顶点间是否存在边

方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点)

方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”,指向该点的边数为“入度”)

（无向图:对应行(或列)非0元素的个数，有向图:对应行非0元素的个数是“出度”;对应列非0元素的个数是“入度” ）

邻接矩阵的坏处：

浪费空间 —— 存稀疏图(点很多而边很少)有大量无效元素

浪费时间 —— 统计稀疏图中一共有多少条边

4、用邻接表表示一个图

《【数据结构第五周】图（上）》

方便找任一顶点的所有“邻接点”

节约稀疏图的空间（需要N个头指针 + 2E个结点(每个结点至少2个域) ）

对无向图来说是方便计算任一顶点的度的，对有向图来说只能计算出度，需要构造“逆邻接表”(存指向自己的边)来方便计算“入度”

不方便检查任一顶点的是否存在边

5、图的遍历

深度优先搜索

类似于树的先序遍历

void DFS ( Vertex V )
{ 
     visited[ V ] = true;
     for ( V 的每个邻接点 W ) 
           if ( !visited[ W ] )
                DFS( W );
}

若有N个顶点、E条边,时间复杂度是：

用邻接表存储图,有O(N+E)

用邻接矩阵存储图,有O(N^2)

广度优先搜索

void BFS ( Vertex V )
{        visited[V] = true;
          Enqueue(V, Q);
          while(!IsEmpty(Q)){
              V = Dequeue(Q);
              for ( V 的每个邻接点 W )
                   if( !visited[W] ) {
                     visited[W] = true;
                     Enqueue(W, Q);
                     }
          }
}

若有N个顶点、E条边,时间复杂度是：

用邻接表存储图,有O(N+E)

用邻接矩阵存储图,有O(N^2)

6、图不连通怎么办